放物線とx軸で囲まれた面積
今回は、放物線と \(x\) 軸で囲まれた面積を扱います！
下の公式は、積分を用いた面積の求め方の基礎になる部分です。しっかりと確認しましょう！
区間 \(a\leq x\leq b\) で常に \(f(x)\geq 0\) とする。曲線 \(y=f(x)\) と \(x\) 軸、および \(2\) 直線 \(x=a\), \(x=b\) で囲まれた図形の面積 \(S\) は、
\(S=\displaystyle\int^b_a f(x) dx\)
区間 \(a\leq x\leq b\) で常に \(g(x)\geq 0\) とする。曲線 \(y=g(x)\) と \(x\) 軸、および \(2\) 直線 \(x=a\), \(x=b\) で囲まれた図形の面積 \(S\) は、
\(S=-\displaystyle\int^b_a g(x) dx\)
区間 \(a\leq x\leq b\) で常に \(f(x)\geq g(x)\) とする。\(2\) つの曲線 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\), および \(2\) 直線 \(x=a\), \(x=b\) で囲まれた図形の面積 \(S\) は、
\(S=\displaystyle\int^b_a \{f(x)-g(x)\} dx\)
面積（問題）
次の曲線、直線とx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
(1) \(y=x^2-3x-4\)
(2) \(y=-x^2+2x\) (\(x\leq 1\)), \(x=-1\), \(x=1\)
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答案の例
(1) \(y=x^2-3x-4\)
\(x^2-3x-4=0\)
\((x-4)(x+1)=0\)
\(x=4\), \(-1\)
よって、
\(S=-\displaystyle\int^4_{-1} (x^2-3x-4\) dx\)
\(=-\left[\displaystyle\frac{1}{3}x^3-\displaystyle\frac{3}{2}x^2-4x\right]^4_{-1}\)
\(=-\left\{\left(\displaystyle\frac{1}{3}4^3-\displaystyle\frac{3}{2}4^2-4\cdot 4\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{3}(-1)^3-\displaystyle\frac{3}{2}(-1)^2-4\cdot (-1)\right)\right\}\)
\(=-\left\{\left(\displaystyle\frac{64}{3}-\displaystyle\frac{48}{2}-16\right)-\left(-\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{3}{2}+4\right)\right\}\)
\(=-\displaystyle\frac{64}{3}+\displaystyle\frac{48}{2}+16-\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{3}{2}+4\)
\(=-\displaystyle\frac{65}{3}+\displaystyle\frac{45}{2}+20\)
\(=-\displaystyle\frac{130}{6}+\displaystyle\frac{135}{6}+20\)
\(=\displaystyle\frac{5}{6}+20=\displaystyle\frac{125}{6}\)
(2) \(y=-x^2+2x\) (\(x\leq 1\)), \(x=-1\), \(x=1\)
曲線と \(x\) 軸の交点の \(x\) 座標は、
\(-x^2+2x=0\)
\(x^2-2x=0\)
\(x(x-2)=0\)
\(x=0\), \(2\)
よって、
\(S=-\displaystyle\int_{-1}^0 (-x^2+2x)dx+\int_0^1 (-x^2+2x)dx\)
\(=-\left[-\displaystyle\frac{x^3}{3}+x^2\right]^0_{-1}+\left[-\displaystyle\frac{x^3}{3}+x^2\right]^1_0\)
\(=\left(\displaystyle\frac{1}{3}+1\right)+\left(-\displaystyle\frac{1}{3}+1\right)=2\)
解説
(1) \(y=x^2-3x-4\)
\(x\) 軸との交点を求める
\(x^2-3x-4=0\)
\((x-4)(x+1)=0\)
\(x=4\), \(-1\)
\(x\) 軸よりも下部の面積を求めるので、マイナスをつけることを忘れずに
よって、
\(S=-\displaystyle\int^4_{-1} (x^2-3x-4) dx\)
\(=-\left[\displaystyle\frac{1}{3}x^3-\displaystyle\frac{3}{2}x^2-4x\right]^4_{-1}\)
\(=-\left\{\left(\displaystyle\frac{1}{3}4^3-\displaystyle\frac{3}{2}4^2-4\cdot 4\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{3}(-1)^3-\displaystyle\frac{3}{2}(-1)^2-4\cdot (-1)\right)\right\}\)
\(=-\left\{\left(\displaystyle\frac{64}{3}-\displaystyle\frac{48}{2}-16\right)-\left(-\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{3}{2}+4\right)\right\}\)
\(=-\displaystyle\frac{64}{3}+\displaystyle\frac{48}{2}+16-\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{3}{2}+4\)
\(=-\displaystyle\frac{65}{3}+\displaystyle\frac{45}{2}+20\)
\(=-\displaystyle\frac{130}{6}+\displaystyle\frac{135}{6}+20\)
\(=\displaystyle\frac{5}{6}+20=\displaystyle\frac{125}{6}\)
（別解）
1/6 公式
\(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha} (x-\alpha)(x-\beta) dx=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)
\(S=-\displaystyle\int^4_{-1} (x^2-3x-4) dx\)
\(=-\displaystyle\int^4_{-1} (x+1)(x-4) dx\)
\(=-\left(-\displaystyle\frac{1}{6}\right)\{4-(-1)\}^3=\displaystyle\frac{125}{6}\)
(2) \(y=-x^2+2x\) (\(x\leq 1\)), \(x=-1\), \(x=1\)
曲線と \(x\) 軸の交点の \(x\) 座標は、
\(-x^2+2x=0\)
\(x^2-2x=0\)
\(x(x-2)=0\)
\(x=0\), \(2\)
図は丁寧に描きましょう
よって、
\(S=-\displaystyle\int_{-1}^0 (-x^2+2x)dx+\int_0^1 (-x^2+2x)dx\)
\(=-\left[-\displaystyle\frac{x^3}{3}+x^2\right]^0_{-1}+\left[-\displaystyle\frac{x^3}{3}+x^2\right]^1_0\)
\(=\left(\displaystyle\frac{1}{3}+1\right)+\left(-\displaystyle\frac{1}{3}+1\right)=2\)
おわりに
積分法を活用して面積を求める場合は、とにかく図を丁寧に描きましょう。軸を大きめに取り、\(x\) 軸との交点の値は目盛りに注意して妥当な場所に点を打つことによって綺麗に描くことができます。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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