【積分法】$x+\sqrt{x^2+A}=t$ とおく置換積分法

置換積分法

置換積分法とは、複雑な部分を別の文字で置き換える（置換する）ことで計算しやすくする方法のことです！

これだけなら公式を覚えておけば解くことはそこまで難しくありませんね。

次の問題は少し複雑ですが、先ほどの問題とどこか似ていませんか？

↓以下で扱う問題は、少し複雑な置換積分です。$x+\sqrt{x^2+1}=t$ とおく置換積分は頻出となってますのでしっかりと確認していきましょう！

置換積分法（問題）

$x+\sqrt{x^2+1}=t$ の置き換えを利用して、${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx}$ の不定積分を求めよ。

解説

$x+\sqrt{x^2+1}=t$ から

両辺を微分すると、

$(1+{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}})dx=dt}$

ゆえに　${\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}dx=dt}$

$x+\sqrt{x^2+1}=t$ より

${\displaystyle \frac{t}{\sqrt{x^2+1}}dx=dt}$

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\frac{1}{t}dt}$

したがって、

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\int \frac{1}{t}dt}$

$=\log |t|+C$

$=\log (x+\sqrt{x^2+1})+C$

おわりに