\(2\) 曲線間の面積
今回は \(2\) 曲線で囲まれた面積を求める問題です。
曲線が三角比で表されているので、「三角比の不定積分」「三角比のグラフ」「定積分の基本知識」が理解できていることが必要になります。
\(2\) つの曲線 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) と \(2\) 直線 \(x=a\), \(x=b\)に囲まれた面積 \(S\) を求めるとき、
上下の関数が切り替わっている点に注意すると、
\(S=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|dx\)
最初の方は青い曲線が上にいますが、途中から赤い曲線が上に来ていますね！
\(2\) 曲線間の面積（問題）
区間 \(0\leq x\leq 2\pi\) において、\(2\) つの曲線 \(y=\sin x\), \(y=\sin 2x\) で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
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\(2\) 曲線間の面積（解説）
まずは \(2\) 曲線の交点を求めます。
\(\sin x=\sin 2x\)
\(\sin x=2\sin x\cos x\)
\(\sin x-2\sin x\cos x=0\)
\(\sin x(1-2\cos x)=0\)
\(\sin x=0\), \(\cos x=\frac{1}{2}\)
\(x=0\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\pi\), \(\frac{5\pi}{3}\), \(2\pi\)
交点に気をつけながら \(2\) つの曲線のグラフを描いてみましょう！
よって、\(\sin x\) と \(\sin 2x\) に囲まれた部分は以下のようになります。
面積 \(S\) を求める図形は点 \((\pi\), \(0)\) に関して対称なので、
\(S=2\big\{\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sin 2x-\sin x)dx+\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi}(\sin x-\sin 2x)dx\big\}\)
\(=2\big\{\big[-\displaystyle\frac{1}{2}\cos 2x+\cos x\big]_0^{\frac{\pi}{3}}+\big[-\cos x+\frac{1}{2}\cos 2x\big]_{\frac{\pi}{3}}^{\pi}\big\}\)
\(=2\big\{\big(\displaystyle\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\big)-\big(-\frac{1}{2}+1\big)+\big(1+\frac{1}{2}\big)-\big(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\big)\big\}\)
\(=2\big(\displaystyle\frac{3}{4}-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}\big)\)
\(=2\times\displaystyle\frac{10}{4}\)
\(=5\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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