【空間ベクトル】等式を満たす点の位置

等式を満たす点の位置

今回は空間ベクトルの問題です！

空間図形になると難しく感じるかもしれませんが、考え方は平面と同様ですし、適宜空間図形を切り取れば平面図形として見ることができます。例題と解説を用意してるので解いてみてください。

等式を満たす点の位置（問題）

四面体 $ABCD$ に関し、次の等式を満たす点 $P$ はどのような位置にある点か。

$\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{BP}+2\overrightarrow{CP}+6\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{0}$

解説

$\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{BP}+2\overrightarrow{CP}+6\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{AP}+3(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB})+2(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC})$

$+6(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{AP}-3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AP}-2\overrightarrow{AC}$

$+6\overrightarrow{AP}-6\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}$

$12\overrightarrow{AP}-3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}-6\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}$

$12\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+6\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{1}{12}(3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+6\overrightarrow{AD})}$

$\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{1}{12}\{5\cdot \left(\frac{3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}}{5}\right)+6\overrightarrow{AD}\}}$

$\overrightarrow{AE}={\displaystyle \frac{3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}}{5}}$ とおくと、

$\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{1}{12}\{5\overrightarrow{AE}+6\overrightarrow{AD}\}}$

$\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{1}{12}\{11\cdot \left(\frac{5\overrightarrow{AE}+6\overrightarrow{AD}}{11}\right)\}}$

$\overrightarrow{AF}={\displaystyle \frac{5\overrightarrow{AE}+6\overrightarrow{AD}}{11}}$ とおくと、

$\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{11}{12}\overrightarrow{AF}}$

以上より、点 $P$ は線分 $BC$ を $2:3$ に内分する点を点 $E$ とし、線分 $ED$ を $5:6$ に内分する点を点 $F$ とするとき、線分 $AF$ を $11:1$ に内分する点である。

おわりに