【空間ベクトル】等式を満たす点の位置

等式を満たす点の位置

今回は空間ベクトルの問題です！

空間図形になると難しく感じるかもしれませんが、考え方は平面と同様ですし、適宜空間図形を切り取れば平面図形として見ることができます。例題と解説を用意してるので解いてみてください。

等式を満たす点の位置（問題）

四面体 \(ABCD\) に関し、次の等式を満たす点 \(P\) はどのような位置にある点か。

\(\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{BP}+2\overrightarrow{CP}+6\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{0}\)

解説

\(\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{BP}+2\overrightarrow{CP}+6\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{0}\)

\(\overrightarrow{AP}+3(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB})+2(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC})\)

\(+6(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{0}\)

\(\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{AP}-3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AP}-2\overrightarrow{AC}\)

\(+6\overrightarrow{AP}-6\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}\)

\(12\overrightarrow{AP}-3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}-6\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}\)

\(12\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+6\overrightarrow{AD}\)

\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{1}{12}(3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+6\overrightarrow{AD})\)

\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{1}{12}\left\{5\cdot \left(\frac{3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}}{5}\right)+6\overrightarrow{AD}\right\}\)

\(\overrightarrow{AE}=\displaystyle\frac{3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}}{5}\) とおくと、

\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{1}{12}\left\{5\overrightarrow{AE}+6\overrightarrow{AD}\right\}\)

\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{1}{12}\left\{11\cdot \left(\frac{5\overrightarrow{AE}+6\overrightarrow{AD}}{11}\right)\right\}\)

\(\overrightarrow{AF}=\displaystyle\frac{5\overrightarrow{AE}+6\overrightarrow{AD}}{11}\) とおくと、

\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{11}{12}\overrightarrow{AF}\)

以上より、点 \(P\) は線分 \(BC\) を \(2:3\) に内分する点を点 \(E\) とし、線分 \(ED\) を \(5:6\) に内分する点を点 \(F\) とするとき、線分 \(AF\) を \(11:1\) に内分する点である。

おわりに