【統計学の基礎】ポアソン分布

\(P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k}\)

• \(n\)：試行回数
• \(k\)：成功回数
• \(p\)：各試行での成功確率
• \(\binom{n}{k}\)：二項係数で、\(k\) 回成功する組み合わせの数

• 試行回数が非常に大きい：\(n\to\infty\)
• 成功確率は非常に小さく：\(p\to 0\)
• 平均発生回数：\(np = \lambda\) となるように設定する。

これらの条件のもとで、二項分布の確率をポアソン分布に近似するために以下のように式を変形していきます。

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k}$$

ここで、\(p = \frac{\lambda}{n}\) とし、 \(n \to \infty\) の極限を考えます。このとき、式は次のようになります。

$$P(X = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1 – \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}$$

次に、 \(n\) が非常に大きい場合の近似を適用します。

$$\frac{n!}{k!(n-k)!} \approx \frac{n^k}{k!}$$

\((1 – \frac{\lambda}{n})^{n-k}\) の近似

$$\left(1 – \frac{\lambda}{n}\right)^n \to e^{-\lambda} \quad \text{（$n \to \infty$）}$$

この結果、式全体は次のようになります。

$$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$