【統計学の基礎】確率分布

確率変数と確率分布

確率分布とは、ある確率変数が特定の値を取る確率の分布を表すものです。

\(6\) 面のサイコロを振る例を考えます。

この場合、サイコロの出目(\(1\) から \(6\) )が確率変数 \(X\) で表され、確率分布はそれぞれの出目に対して \(\frac{1}{6}\) ずつの確率が割り当てられる形になります。

\(P(X = 1) = \frac{1}{6}\)
\(P(X = 2) = \frac{1}{6}\)
\(P(X = 3) = \frac{1}{6}\)
\(P(X = 4) = \frac{1}{6}\)
\(P(X = 5) = \frac{1}{6}\)
\(P(X = 6) = \frac{1}{6}\)

\(X\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
\(P(X)\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)

確率分布の種類

確率分布は離散型と連続型に分けられ、それぞれで異なる形態の分布を持ちます。確率分布を理解することは、データの特徴を分析し、将来の結果を予測する上で重要です。

さらに、確率変数の期待値や分散を求めることで、平均的な傾向やばらつきを把握することが可能です。

本記事では、確率分布の基本的な概念と、期待値および分散の求め方について解説します。

離散型確率分布	二項分布
	ポアソン分布
	幾何分布
	負の二項分布
	超幾何分布
	多項分布
連続型確率分布	正規分布
	一様分布
	指数分布
	ガンマ分布
	カイ二乗分布
	\(t\) 分布
	ベータ分布
	ロジスティック分布

離散型確率分布

確率質量関数 (PMF)

離散型確率分布は、取る値が離散的な場合に使用されます。たとえば、サイコロの目やコインの裏表などがその例です。これらの確率分布を表すためには、確率質量関数 (Probability Mass Function, PMF)が使われ、各可能な値に対して、その値が発生する確率を表します。

期待値と分散の求め方

ある離散型確率変数 (\(X\)) が取る値を \(x_1, x_2, …, x_n\)、それに対応する確率を \(P(X = x_1),　P(X = x_2), …, P(X = x_n)\) とします。期待値 \(E(X)\) は以下の式で求めます。

$$E(X) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)$$

分散 \(Var(X)\) は期待値をもとに、以下の式で計算されます。

$$Var(X) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i – E(X))^2 \cdot P(X = x_i)$$

例）

例えば、サイコロの目を考えます。この場合、各目の出る確率は \(1/6\) です。サイコロの目を表す確率変数 \(X\) の期待値は次のように計算されます。

$$E(X) = 1 \cdot \displaystyle\frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + … + 6 \cdot \frac{1}{6} = 3.5$$

次に、分散を計算します。まず各値の差 \(x_i – 3.5\) を二乗し、それぞれの確率で重みをつけて和を取ります。

連続型確率分布

確率密度関数 (PDF)

連続型確率分布では、確率変数が取りうる値は連続的であり、具体的な点での確率は0になります。代わりに、確率密度関数 (Probability Density Function, PDF) が使われます。この関数の値は直接的な確率を示すものではなく、その積分が区間内の確率を表します。つまり、ある区間 ([a, b]) における確率は以下の式で計算されます。

$$P(a \leq X \leq b) = \displaystyle\int_a^b f(x) \, dx$$

期待値と分散の求め方

連続型確率変数 \(X\) の期待値 \(E(X)\) は、確率密度関数 \(f(x)\) を用いて以下の式で求められます。

$$E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx$$

分散 \(Var(X)\) は、期待値を基に以下のように計算されます。

$$Var(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} (x – E(X))^2 \cdot f(x) \, dx$$

例

正規分布を例に挙げます。正規分布の確率密度関数は次のように定義されます。

$$f(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

ここで、\(\mu\) は平均、\(\sigma^2\) は分散を表します。正規分布に従う確率変数の期待値は \(\mu\)、分散は \(\sigma^2\) となります。これは、対称で広がりが分かりやすい分布であるため、多くの実世界の現象に適用されます。

具体的な確率分布の例

確率分布には、上記で説明した正規分布以外にもさまざまなものがあります。それぞれに特徴があり、用途に応じて使い分けられます。

これらの分布も、期待値や分散を計算することができ、それぞれの分布の性質を理解する上で重要な指標となります。

まとめ

確率分布は、データがどのように散らばっているかを理解するための強力なツールです。

離散型確率分布と連続型確率分布の2つの主要な種類があり、それぞれに応じた期待値と分散を求めることで、データの平均的な傾向やばらつきの程度を把握できます。さまざまな確率分布を正しく使い分けることで、現実世界のデータをモデル化し、予測や意思決定に役立てることができます。