【統計学の基礎】確率分布

確率変数と確率分布

確率分布とは、ある確率変数が特定の値を取る確率の分布を表すものです。

$6$ 面のサイコロを振る例を考えます。

この場合、サイコロの出目($1$ から $6$ )が確率変数 $X$ で表され、確率分布はそれぞれの出目に対して $\frac{1}{6}$ ずつの確率が割り当てられる形になります。

$P(X=1)=\frac{1}{6}$
$P(X=2)=\frac{1}{6}$
$P(X=3)=\frac{1}{6}$
$P(X=4)=\frac{1}{6}$
$P(X=5)=\frac{1}{6}$
$P(X=6)=\frac{1}{6}$

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$P(X)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

確率分布の種類

確率分布は離散型と連続型に分けられ、それぞれで異なる形態の分布を持ちます。確率分布を理解することは、データの特徴を分析し、将来の結果を予測する上で重要です。

さらに、確率変数の期待値や分散を求めることで、平均的な傾向やばらつきを把握することが可能です。

本記事では、確率分布の基本的な概念と、期待値および分散の求め方について解説します。

離散型確率分布	二項分布
	ポアソン分布
	幾何分布
	負の二項分布
	超幾何分布
	多項分布
連続型確率分布	正規分布
	一様分布
	指数分布
	ガンマ分布
	カイ二乗分布
	$t$ 分布
	ベータ分布
	ロジスティック分布

離散型確率分布

確率質量関数 (PMF)

離散型確率分布は、取る値が離散的な場合に使用されます。たとえば、サイコロの目やコインの裏表などがその例です。これらの確率分布を表すためには、確率質量関数 (Probability Mass Function, PMF)が使われ、各可能な値に対して、その値が発生する確率を表します。

期待値と分散の求め方

ある離散型確率変数 ($X$) が取る値を $x_1,x_2,\dots ,x_n$、それに対応する確率を $P(X=x_1), P(X=x_2),\dots ,P(X=x_n)$ とします。期待値 $E(X)$ は以下の式で求めます。

$$E(X)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i\cdot P(X=x_i)}$$

分散 $Var(X)$ は期待値をもとに、以下の式で計算されます。

$$Var(X)={\displaystyle \sum _{i=1}^n(x_i–E(X){)}^2\cdot P(X=x_i)}$$

例）

例えば、サイコロの目を考えます。この場合、各目の出る確率は $1/6$ です。サイコロの目を表す確率変数 $X$ の期待値は次のように計算されます。

$$E(X)=1\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+\dots +6\cdot \frac{1}{6}=3.5}$$

次に、分散を計算します。まず各値の差 $x_i–3.5$ を二乗し、それぞれの確率で重みをつけて和を取ります。

連続型確率分布

確率密度関数 (PDF)

連続型確率分布では、確率変数が取りうる値は連続的であり、具体的な点での確率は0になります。代わりに、確率密度関数 (Probability Density Function, PDF) が使われます。この関数の値は直接的な確率を示すものではなく、その積分が区間内の確率を表します。つまり、ある区間 ([a, b]) における確率は以下の式で計算されます。

$$P(a\le X\le b)={\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}$$

期待値と分散の求め方

連続型確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ は、確率密度関数 $f(x)$ を用いて以下の式で求められます。

$$E(X)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f(x)dx}$$

分散 $Var(X)$ は、期待値を基に以下のように計算されます。

$$Var(X)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(x–E(X){)}^2\cdot f(x)dx}$$

例

正規分布を例に挙げます。正規分布の確率密度関数は次のように定義されます。

$$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})}$$

ここで、$\mu$ は平均、${\sigma }^2$ は分散を表します。正規分布に従う確率変数の期待値は $\mu$、分散は ${\sigma }^2$ となります。これは、対称で広がりが分かりやすい分布であるため、多くの実世界の現象に適用されます。

具体的な確率分布の例

確率分布には、上記で説明した正規分布以外にもさまざまなものがあります。それぞれに特徴があり、用途に応じて使い分けられます。

これらの分布も、期待値や分散を計算することができ、それぞれの分布の性質を理解する上で重要な指標となります。

まとめ

確率分布は、データがどのように散らばっているかを理解するための強力なツールです。

離散型確率分布と連続型確率分布の2つの主要な種類があり、それぞれに応じた期待値と分散を求めることで、データの平均的な傾向やばらつきの程度を把握できます。さまざまな確率分布を正しく使い分けることで、現実世界のデータをモデル化し、予測や意思決定に役立てることができます。