【複素数と方程式】『因数分解』2 次・複 2 次式の因数分解

複素数範囲に拡張された因数分解

虚数とは

虚数とは英語で imaginary number といい、2乗したときに0未満の実数になる数を指します。

代表的なのが虚数単位「$i$」で

$i\times i=-1$

となります。英語を直訳すると「想像上の数」 であることからも分かる通り、このような数は現実には存在しません。

複素数とは

複素数とは、実数と虚数を合わせたものです。

$1+3i$ や $-2+5i$ など $\mathrm{♠}+\mathrm{♣}i$ のような形で表します。

これまでは、実数範囲でしか数を扱ってきませんでした、複素数範囲になって数が拡張されたイメージを持ちましょう。図にするとこんな感じです。

複素数範囲に拡張された因数分解（例題）

次の式を、複素数の範囲で因数分解せよ。

(1) $2x^2-3x+4$
(2) $x^4-64$
(3) $x^4+4x^2+36$

解説

(1)

実数範囲だと因数分解不可

$2x^2-3x+4=0$ とおくと

$x={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{-23}}{4}}$
$={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{23}i}{4}}$

よって、

$=(x-{\displaystyle \frac{3-\sqrt{23}i}{4}})(x-{\displaystyle \frac{3+\sqrt{23}i}{4}})$

(2)

$x^4-64$
$=(x^2+8)(x^2-8)$
$=(x^2+8)(x+2\sqrt{2})(x-2\sqrt{2})$

$=(x+2\sqrt{2}i)(x-2\sqrt{2}i)(x+2\sqrt{2})(x-2\sqrt{2})$

(3)

$x^4+4x^2+36$
$=x^4+12x^2-8x^2+36$
$=x^4+12x^2+36-8x^2$
$=(x^2+6{)}^2-8x^2$
$=(x^2+6-2\sqrt{2}x)(x^2+6+2\sqrt{2}x)$
$=(x^2-2\sqrt{2}x+6)(x^2+2\sqrt{2}x+6)$

実数範囲だとここで因数分解終了

$=(x-\sqrt{2}-2i)(x-\sqrt{2}+2i)(x+\sqrt{2}-2i)(x+\sqrt{2}+2i)$

おわりに