【複素数と方程式】複素数の基礎・基本

①　複素数 $a+bi$

$b=0$ → 実数 $a$
$b\ne 0$ → 虚数 $a+bi$
特に、$a=0$,　$b\ne 0$ のとき純虚数 $bi$

②　複素数の相等

$a+bi=c+di$
$⟷$ $a=c$,　$b=d$
特に、$a+bi=0$
$⟷$ $a=0$,　$b=0$

$2$ 次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ $(a$,　$b$,　$c$ は実数$)$ の解は、

$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$2$ 次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ $(a$,　$b$,　$c$ は実数$)$ において、$b^2-4ac$ を、この $2$ 次方程式の判別式といい、$D$ で表す。すなわち、$D=b^2-4ac$

$2$ 次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ の解と、その判別式 $D$ について、次のことが成り立つ。

【$2$ 次方程式の解の種類の判別】
$D>0$
$⟷$ 異なる $2$ つの実数解をもつ
$D=0$
$⟷$ 重解をもつ
$D<0$
$⟷$ 異なる $2$ つの虚数解をもつ

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$2$ 次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ の $2$ つの解を $\alpha$,　$\beta$ とする。

$2$ 次方程式の解と係数の関係
$\alpha +\beta =-{\displaystyle \frac{b}{a}}$,　$\alpha \beta ={\displaystyle \frac{c}{a}}$

$2$ 次式の因数分解　$a{x}^2+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )$

$2$ 数を解をする $2$ 次方程式
$2$ 数 $\alpha$,　$\beta$ に対して、$\alpha +\beta =p$,　$\alpha \beta =q$ とすると、$\alpha$ と $\beta$ を解とする $2$ 次方程式の $1$ つは、$x^2-px+q=0$

解説）

(1)　$(4+5i)-(3-2i)$
$=(4-3)+(5+2)i=1+7i$

(2)　$(2+i{)}^2$
$(2+i{)}^2=(2+i)(2+i)$
$=(4-1)+(2+2)i=3+4i$

(3)　${\displaystyle \frac{3+2i}{2+i}-\frac{i}{1-2i}}$

${\displaystyle \frac{3+2i}{2+i}-\frac{i}{1-2i}={\displaystyle \frac{(3+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}+\frac{i(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}}}$

$={\displaystyle \frac{8+i}{5}-\frac{-2+i}{5}}$
$={\displaystyle \frac{(8+i)-(-2+i)}{5}}$
$={\displaystyle \frac{10}{5}=2}$

解説②）
$x^2+2(k-1)x-k^2+4k-3=0$ の判別式を $D$ とおく。

$D=\{2(k-1){\}}^2-4(-k^2+4k-3)$
$=4(k^2-2k+1)+4k^2-16k+12$
$=8k^2-24k+16$
$=8(k^2-3k+2)$
$=8(k-1)(k-2)$

$(i)$　$D>0$ すなわち
$k<1$,　$2<k$ のとき 2 つの異なる実数解を持つ

$(ii)$　$D=0$ すなわち
$k=1$,　$2$ のとき 重解を持つ

$(iii)$　$D<0$ すなわち
$1<k<2$ のとき 2 つの異なる虚数解を持つ

問題）$2$ 次方程式 $x^2-2x+3=0$ の $2$ つの解を $\alpha$,　$\beta$ とする。次の式の値を求めよ。
(1)　$(\alpha +1)(\beta +1)$
(2)　${\alpha }^2+{\beta }^2$
(3)　${\alpha }^3+{\beta }^3$

解説）
解と係数の関係より $\alpha +\beta =2$,　$\alpha \beta =3$

(1)　$(\alpha +1)(\beta +1)$
$=\alpha \beta +\alpha +\beta +1$
$=3+2+1=6$

(2)　${\alpha }^2+{\beta }^2$
$(\alpha +\beta {)}^2={\alpha }^2+2\alpha \beta +{\beta }^2$
${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta$
$=2^2-2\times 3=-2$

(3)　${\alpha }^3+{\beta }^3$
$(\alpha +\beta {)}^3={\alpha }^3+{\beta }^3+3\alpha \beta (\alpha +\beta )$
${\alpha }^3+{\beta }^3=(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )$
$=2^3-3\times 3\times 2=-10$