【複素数と方程式】二次方程式の解と判別式

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二次方程式の解
判別式
二次方程式の解と判別式（例題）
1. 二次方程式の解
2. 2つの2次方程式の解の判別式
おわりに

二次方程式の解

$a x^{2} + b x + c = 0$ において、

　 $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

と計算できる。

判別式

数の範囲が複素数まで拡張されると判別式 $D < 0$ のときの解の判別に変化が生じます。

$a x^{2} + b x + c = 0$ の判別式を $D$ とおくと、 $D = b^{2} - 4 a c$ と表され、

　 $D > 0$ $⟷$ 異なる $2$ つの実数解をもつ。
　 $D = 0$ $⟷$ 重解をもつ。
　 $D < 0$ $⟷$ 異なる $2$ つの虚数解をもつ。

D < 0

について

数の範囲が実数範囲の場合、「（実数）解を持たない。」となる。しかし、複素数範囲まで拡張されると「（虚数）解をもつ。」となる。

二次方程式の解と判別式（例題）

二次方程式の解

問題）

(1)　 $3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$
(2)　 $2 x^{2} + 5 x + 4 = 0$

解説）

(1)　 $3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 3}$

　 $= \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6}$

　 $= \frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{6}$

　 $= \frac{- 5 \pm 7}{6}$

　 $= \frac{1}{3}$ ,　 $- 2$

(2)　 $2 x^{2} + 5 x + 4 = 0$

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

　 $= \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 32}}{4}$

　 $= \frac{- 5 \pm \sqrt{- 8}}{4}$ 　

　 $= \frac{- 5 \pm 2 \sqrt{2} i}{4}$

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2つの2次方程式の解の判別式

問題）

$k$ は定数とする。次の $2$ つの $2$ 次方程式

$x^{2} - k x + k^{2} - 3 k = 0$ $\dots$ ①
$(k + 8) x^{2} - 6 x + k = 0$ $\dots$ ②

について、次の条件を満たす $k$ の値の範囲をそれぞれ求めよ。

(1)　①, ② のうち、少なくとも一方が虚数解をもつ。
(2)　①, ② のうち、一方だけが虚数解をもつ。

〈前提条件〉

② の $2$ 次の係数は $0$ でないから、

　 $k + 8 \neq 0$ すなわち $k \neq - 8$

このとき、①、② の判別式をそれぞれ $D_{1}$ , $D_{2}$ とすると、

　 $D_{1} = k^{2} - 4 (k^{2} - 3 k) = - 3 k (k - 4)$

　 $D_{2} = (- 6)^{2} - 4 k (k + 8)$
　　 $= - 4 k^{2} - 32 k + 36$
　　 $= - 4 (k^{2} + 8 k - 9)$
　　 $= - 4 (k + 9) (k - 1)$

解説）

(1)

求める条件は、 $k \neq - 8$ のもとで、

「少なくとも一方が虚数解を持つ」を言い換えると、「① か ② が虚数解を持つ」

つまり、 $D_{1} < 0$ または $D_{2} < 0$

　 $D_{1} < 0$ より $k (k - 4) > 0$
　　ゆえに、 $k < 0$ ,　 $4 < k$ $\dots$ ③

　 $D_{2} < 0$ より $(k + 9) (k - 1) > 0$
　　ゆえに、 $k < - 9$ ,　 $1 < k$ $\dots$ ④

③,　④ より $k \neq - 8$ を含めて図を描くと、

これを満たす範囲を図で描くと、

図より $k < - 8$ ,　 $- 8 < k < 0$ ,　 $1 < k$

(2)　

①、② の一方だけが虚数解をもつための条件は、 $D_{1} < 0$ ,　 $D_{2} < 0$ の一方だけが成り立つことである。ゆえに、③、④ の一方だけが成り立つ $k$ の範囲を求めて

屋根が一つのところ（重なっていないところ）を見る

おわりに

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

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