【複素数と方程式】2次方程式の2解の対称式の値

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2次方程式の2解の対称式の値
対称式の例題
1. 例題
2. 解説
おわりに

2次方程式の2解の対称式の値

今回は二次方程式の2つの解の関係を使った問題を扱います！

2つの解を $α$ と $β$ と置き、その和や積の関係を考えていきます。

二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の $2$ 解を $α$ ,　 $β$ とおくと、

$α + β = - \frac{b}{a}$ ,　 $α β = \frac{c}{a}$

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a x^{2} + b x + c = 0

の

2

つの解を

α

β

とおくと、

α + β = - \frac{b}{a}

\(\alpha\beta=\displaystyle\frac…

（証明）

二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の解が $α$ ,　 $β$ より

　 $a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)$

とかける。

　 $a x^{2} + b x + c = a {x^{2} - (α + β) x + α β}$

両辺を $a$ で割ると、

　 $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = x^{2} - (α + β) x + α β$

よって、

$α + β = - \frac{b}{a}$ ,　 $α β = \frac{c}{a}$

2数を解とする 2 次方程式

$2$ 数 $α$ ,　 $β$ に対して、 $α + β = p$ ,　 $α β = q$ とすると、 $α$ と $β$ を解とする $2$ 次方程式の $1$ つは、

$x^{2} + p x + q = 0$

となる。

（証明）

$α$ ,　 $β$ を解とする二次方程式は、 $(x - α) (x - β) = 0$ とかける。

　 $x^{2} - (α + β) x + α β = 0$

よって、

　 $x^{2} - p x + q = 0$

対称式の例題

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例題

$2$ 次方程式 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ の $2$ つの解を $α$ ,　 $β$ とする。次の式の値を求めよ。

(1)　 $(α + 1) (β + 1)$
(2)　 $α^{2} + β^{2}$
(3)　 $α^{3} + β^{3}$

解説

$α + β = 2$ ,　 $α β = 3$ $\dots$ (A)

(1)　 $(α + 1) (β + 1)$
$= α β + α + β + 1$
　(A) より
$= 3 + 2 + 1 = 6$

(2)　 $α^{2} + β^{2}$
$= (α + β)^{2} - 2 α β$
$= 2^{2} - 2 \cdot 3 = - 2$

(3)　 $α^{3} + β^{3}$
$= (α + β)^{3} - 3 α β (α + β)$
$= 2^{3} - 3 \cdot 3 \cdot 2 = - 10$

おわりに

さいごまで読んでいただきありがとうございました！

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公務員試験の数学
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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

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