【複素数と方程式】2 解の関係と係数の決定

解と係数の関係

（解説）

\(ax^2+bx+c=0\) の解が \(\alpha\), \(\beta\) より

\(ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\) と表せる。両辺を \(a\) で割ると、

　\(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\)
\(=(x-\alpha)(x-\beta)\)
\(=x^2-(\alpha+\beta)+\alpha\beta\)

よって、

\(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2-(\alpha+\beta)+\alpha\beta\)

したがって、

\(\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}\)

\(\alpha\beta=\displaystyle\frac{c}{a}\)

解と係数の関係（例題）

\(2\) 次方程式 \(x^2-6x+k=0\) について、次の条件を満たすように、定数 \(k\) の値を定めよ。

(1)　\(1\) つの解が他の解の \(2\) 倍
(2)　\(1\) つの解が他の解の \(2\) 乗

解説

(1)

\(1\) つの解を \(\alpha\)とおくと、\(2\alpha\) とおける。

解と係数の関係より

\(\alpha+2\alpha=6\) \(\cdots\) ①
\(\alpha\cdot 2\alpha=k\) \(\cdots\) ②

① より
　\(3\alpha=6\)
　\(\alpha=2\)

② に代入すると、
　\(2\alpha^2=k\)
　\(2\cdot 2^2=k\) ※①より
　\(k=8\)

(2)

\(1\) つの解を \(\alpha\)とおくと、\(\alpha^2\) とおける。

解と係数の関係より

\(\alpha+\alpha^2=6\) \(\cdots\) ①
\(\alpha\cdot \alpha^2=k\) \(\cdots\) ②

① より
　\(\alpha^2+\alpha-6=0\)
　\((\alpha+3)(\alpha-2)=0\)
　\(\alpha=-3\),　\(2\)

② に代入すると、
　\(k=\alpha^3\)
　\(k=-27\),　\(8\) ※①より

おわりに