【複素数と方程式】2 解の関係と係数の決定

解と係数の関係

$a x^{2} + b x + c = 0$ の $2$ つの解を $α$ , $β$ とおくと、

$α + β = - \frac{b}{a}$

$α β = \frac{c}{a}$

（解説）

$a x^{2} + b x + c = 0$ の解が $α$ , $β$ より

$a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)$ と表せる。両辺を $a$ で割ると、

　 $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}$
$= (x - α) (x - β)$
$= x^{2} - (α + β) + α β$

よって、

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = x^{2} - (α + β) + α β$

したがって、

$α + β = - \frac{b}{a}$

$α β = \frac{c}{a}$

$2$ 次方程式 $x^{2} - 6 x + k = 0$ について、次の条件を満たすように、定数 $k$ の値を定めよ。

(1)　 $1$ つの解が他の解の $2$ 倍
(2)　 $1$ つの解が他の解の $2$ 乗

(1)

$1$ つの解を $α$ とおくと、 $2 α$ とおける。

解と係数の関係より

$α + 2 α = 6$ $\dots$ ①
$α \cdot 2 α = k$ $\dots$ ②

① より
　 $3 α = 6$
　 $α = 2$

② に代入すると、
　 $2 α^{2} = k$
　 $2 \cdot 2^{2} = k$ ※①より
　 $k = 8$

(2)

$1$ つの解を $α$ とおくと、 $α^{2}$ とおける。

解と係数の関係より

$α + α^{2} = 6$ $\dots$ ①
$α \cdot α^{2} = k$ $\dots$ ②

① より
　 $α^{2} + α - 6 = 0$
　 $(α + 3) (α - 2) = 0$
　 $α = - 3$ ,　 $2$

② に代入すると、
　 $k = α^{3}$
　 $k = - 27$ ,　 $8$ ※①より

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。