【複素数平面】『複素数と図形』方程式の表す図形

方程式の表す図形（複素数）

今回は複素数を含んだ方程式が表す図形についての問題です！

複素数と言えば、$\alpha +\beta i$ で表される数のことですが、これまでの考え方と大きくは異なりません！

しっかりと図示しながら理解していきましょう。

複素数と図形（問題）

次の方程式を満たす点 $z$ 全体は、どのような図形か。

(1)　$|2z+1|=|2z-i|$

(2)　$(3z+2)(3\bar{z}+2)=9$

解説

(1)　方程式を変形すると、

　$|z+{\displaystyle \frac{1}{2}|=|z-{\displaystyle \frac{i}{2}|}}$

よって、点 $z$ の全体は

$2$ 点 $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$,　${\displaystyle \frac{i}{2}}$ を結ぶ線分の垂直二等分線

$-{\displaystyle \frac{1}{2}=-{\displaystyle \frac{1}{2}+0i}}$,　${\displaystyle \frac{i}{2}=0+\frac{1}{2}i}$ とすると、$2$ 点 $(-{\displaystyle \frac{1}{2}}$,　$0)$,　$(0$,　${\displaystyle \frac{1}{2})}$ を図示すればよい。

(2)　方程式から

$(3z+2)(\overline{3z+2})=9$

よって　$|3z+2{|}^2=3^2$

ゆえに　$|3z+2|=3$

したがって　$|z-(-{\displaystyle \frac{2}{3})|=1}$

よって　点 $z$ の全体は　点 $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ を中心とする半径 $1$ の円

$-{\displaystyle \frac{2}{3}=-{\displaystyle \frac{2}{3}+0i}}$ とすると、点 $(-{\displaystyle \frac{2}{3}}$,　$0)$ を中心にすれば良い。

おわりに