【複素数平面】複素数の極形式と乗法、除法

（例題①）

次の複素数を極形式で表せ。ただし、偏角 $\theta$ は $0\le \theta \le 2\pi$ とする。

(1)　$-1+\sqrt{3}i$
(2)　$-2i$

（解説）

(1)　$-1+\sqrt{3}i$

$|-1+\sqrt{3}|=\sqrt{(-1{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$

図より、$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$,　$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$0\le \theta <2\pi$ であるから　$\theta ={\displaystyle \frac{2}{3}\pi }$

よって、

$-1+\sqrt{3}i=2(\cos {\displaystyle \frac{2}{3}\pi +i\sin \frac{2}{3}\pi )}$

(2)　$-2i$

$|-2i|=\sqrt{(-2{)}^2}=2$

図より、$\cos \theta =0$,　$\sin \theta =-1$

$0\le \theta <2\pi$ であるから　$\theta ={\displaystyle \frac{3}{2}\pi }$

よって、

$-2i=2(\cos {\displaystyle \frac{3}{2}\pi +i\sin \theta \frac{3}{2}\pi )}$

（例題②）

$\alpha =2+2i$,　$\beta =1-\sqrt{3}i$ のとき、$\alpha \beta$,　${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$ をそれぞれ極形式で表せ。ただし、偏角 $\theta$ は $0\le \theta <2\pi$ とする。

（解説）

$\alpha =2\sqrt{2}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)}$

　$=2\sqrt{2}(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})}$

$\beta =2({\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)}$

　$=2(\cos {\displaystyle \frac{5}{3}\pi +i\sin \frac{5}{3}\pi )}$

よって、

$=4\sqrt{2}(\cos {\displaystyle \frac{23}{12}\pi +i\sin \frac{23}{12}\pi )}$

$=\sqrt{2}\{\cos (-{\displaystyle \frac{17}{12}\pi )+i\sin (-\frac{17}{12}\pi )\}}$

$-{\displaystyle \frac{17}{12}\pi =\frac{7}{12}\pi +2\pi \times (-1)}$ から、

　${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }=\sqrt{2}(\cos {\displaystyle \frac{7}{12}\pi +i\sin \frac{7}{12}\pi )}}$