【超越数とは】超越数の意味といくつかの例とその証明

超越数とは

「有理数係数多項式 $=0$」という形の方程式を代数方程式と言います。

つまり、複素数 $\alpha$ が超越数であるとは、どのような有理数係数多項式

　$P(x)=q_n{x}^n+q_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +q_{1}x+q_0$

※ $q_i$ は有理数で、$0$ でない $q_i$ が存在

に対しても $P(\alpha )\ne 0$ であるという意味です。

• 有理数は超越数ではありません。
  有理数 ${\displaystyle \frac{q}{p}}$ は、$px-q=0$ という一次方程式の解だからです。
• 無理数でも超越数とは限りません。
  例えば $\sqrt{2}$ は $x^2-2=0$ という二次方程式の解なので超越数ではありません（二次方程式の解である無理数を二次の無理数と言います）。無理数と超越数を混同する人が多いので注意して下さい。

超越数の例

• 自然対数の底 $e$（証明は後述）
• 円周率 $\pi$
• $0$ でない代数的数 $\theta$ に対する
• $\sin \theta$,　$\cos \theta$,　$\tan \theta$（この二つが超越数であることは，リンデマンの定理という飛び道具から分かる）
• $2^{\sqrt{2}}$,　$e^{\pi }$（この二つが超越数であることは，ゲルフォント–シュナイダーの定理という飛び道具から分かる）

eが超越数であることの証明

自然対数の底 $e$ が超越数であることの証明は簡単ではありませんが、一応高校数学のみで理解できますので、概略を紹介します。
※ The Transcendence of e and πを参考にしました。

証明の概略

$e$ が超越数でないと仮定する。このとき、うまく整数

　$r$,　$a_0\ne 0$,　$a_1$,　$\cdots$,　$a_r$

を選ぶと、

　$a_0+a_{1}e+a_2{e}^2+\cdots +a_r{e}^r=0$

次に，十分大きい素数 $p$ を用いて、

　$f(x)=x^{p-1}(x-1{)}^p(x-2{)}^p\cdots (x-r{)}^p$
　$I(t)={\displaystyle {\int }_0^t{e}^{t-u}f(u)du}$

とおき、

　$J=a_{0}I(0)+a_{1}I(1)+\cdots +a_{r}I(r)$

という量を考える。

$p$ が十分大きいとき、以下の不等式 $1$,　$2$ は矛盾する（階乗の方が指数関数より強い）。よって背理法により $e$ は超越数である。

1.　$|J|\ge (p-1)!$

　理由：$f(x)$ の次数を $n=(r+1)p-1$ とおく。

　$I(t)$ は指数関数×

　$n$ 次式の積分なので $n$ 回部分積分すれば計算できる。結果は、

　　$I(t)=e^t{\displaystyle \sum _{j=0}^n{f}^{(j)}(0)-\sum _{j=0}^n{f}^{(j)}(t)}$

　となる。よって、

　　$J={\displaystyle \sum _{t=0}^r{a}_{t}I(t)}$
　　　$={\displaystyle \sum _{j=0}^n{f}^{(j)}(0)\sum _{t=0}^r{a}_t{e}^t-\sum _{t=0}^r\sum _{j=0}^n{a}_t{f}^{(j)}(t)}$

　ここで、第一項は(*)より $0$ になる。

　また、ライプニッツルールを用いて $f^{(j)}(t)$ を実際に計算すると、

　$j=p-1$,　$t=0$ のときは $(p-1)!(-1{)}^{rp}(r!{)}^p$ となり、残りは

　$p!$ の倍数（$0$ も含む）となる。よって，$J$ は $(p-1)!$ の倍数であり、$p!$ の倍数ではない。

2.　$1$ より大きい（$p$ には依存しない）実数 $c$ が存在して、$|J|\le c^p$

　理由：$f(x)$ の定義より、$0\le x\le r$ のとき $|f(x)|\le r^{(r+1)p}$

　これと $I(t)$ の定義より、$0\le t\le r$ のとき $I(t)\le t{e}^t{r}^{(r+1)p}$

　これと $J$ の定義より，$|J|\le$ ($p$ によらない定数) $\cdot (r^{r+1}{)}^p$

おわりに