【超越数とは】超越数の意味といくつかの例とその証明

超越数とは

「有理数係数多項式 \(=0\)」という形の方程式を代数方程式と言います。

つまり、複素数 \(\alpha\) が超越数であるとは、どのような有理数係数多項式

　\(P(x)=q_n x^n+q_{n-1} x^{n-1}+\cdots +q_1 x+q_0\)

※ \(q_i\) は有理数で、\(0\) でない \(q_i\) が存在

に対しても \(P(\alpha)\neq 0\) であるという意味です。

• 有理数は超越数ではありません。
  有理数 \(\displaystyle\frac{q}{p}\) は、\(px-q=0\) という一次方程式の解だからです。
• 無理数でも超越数とは限りません。
  例えば \(\sqrt{2}\) は \(x^2-2=0\) という二次方程式の解なので超越数ではありません（二次方程式の解である無理数を二次の無理数と言います）。無理数と超越数を混同する人が多いので注意して下さい。

超越数の例

• 自然対数の底 \(e\)（証明は後述）
• 円周率 \(\pi\)
• \(0\) でない代数的数 \(\theta\) に対する
• \(\sin\theta\),　\(\cos\theta\),　\(\tan\theta\)（この二つが超越数であることは，リンデマンの定理という飛び道具から分かる）
• \(2^{\sqrt{2}}\),　\(e^{\pi}\)（この二つが超越数であることは，ゲルフォント–シュナイダーの定理という飛び道具から分かる）

eが超越数であることの証明

自然対数の底 \(e\) が超越数であることの証明は簡単ではありませんが、一応高校数学のみで理解できますので、概略を紹介します。
※ The Transcendence of e and πを参考にしました。

証明の概略

\(e\) が超越数でないと仮定する。このとき、うまく整数

　\(r\),　\(a_0\neq 0\),　\(a_1\),　\(\cdots\),　\(a_r\)

を選ぶと、

　\(a_0+a_1 e+a_2 e^2+\cdots +a_r e^r=0\)

次に，十分大きい素数 \(p\) を用いて、

　\(f(x)=x^{p-1}(x-1)^p(x-2)^p\cdots (x-r)^p\)
　\(I(t)=\displaystyle\int_0^t e^{t-u} f(u)du\)

とおき、

　\(J=a_0 I(0)+a_1 I(1)+\cdots +a_r I(r)\)

という量を考える。

\(p\) が十分大きいとき、以下の不等式 \(1\),　\(2\) は矛盾する（階乗の方が指数関数より強い）。よって背理法により \(e\) は超越数である。

1.　\(|J|\geq (p-1)!\)

　理由：\(f(x)\) の次数を \(n=(r+1)p-1\) とおく。

　\(I(t)\) は指数関数×

　\(n\) 次式の積分なので \(n\) 回部分積分すれば計算できる。結果は、

　　\(I(t)=e^t\displaystyle\sum_{j=0}^nf^{(j)}(0)-\sum_{j=0}^nf^{(j)}(t)\)

　となる。よって、

　　\(J=\displaystyle\sum_{t=0}^r a_tI(t)\)
　　　\(=\displaystyle\sum_{j=0}^n f^{(j)}(0)\sum_{t=0}^ra_te^t-\sum_{t=0}^r\sum_{j=0}^na_t\:f^{(j)}(t)\)

　ここで、第一項は(*)より \(0\) になる。

　また、ライプニッツルールを用いて \(f^{(j)}(t)\) を実際に計算すると、

　\(j=p-1\),　\(t=0\) のときは \((p-1)!(-1)^{rp}(r!)^p\) となり、残りは

　\(p!\) の倍数（\(0\) も含む）となる。よって，\(J\) は \((p-1)!\) の倍数であり、\(p!\) の倍数ではない。

2.　\(1\) より大きい（\(p\) には依存しない）実数 \(c\) が存在して、\(|J| \leq c^p\)

　理由：\(f(x)\) の定義より、\(0\leq x\leq r\) のとき \(|f(x)|\leq r^{(r+1)p}\)

　これと \(I(t)\) の定義より、\(0\leq t\leq r\) のとき \(I(t) \leq te^tr^{(r+1)p}\)

　これと \(J\) の定義より，\(|J|\leq\) (\(p\) によらない定数) \(\cdot (r^{r+1})^p\)

おわりに