【集合】『集合の包括関係の証明』　例題と解説

包括関係の証明

今回は包括関係についての問題を扱います！

$2$ つの集合の関係を知るために、部分集合や集合の相等について知っておきましょう。

部分集合

集合の相等

$A$ と $B$ は等しい
$⟺$ $A=B$
$⟺$ $A\subset B$ かつ $B\subset A$
※全く同じ集合ということ

包括関係の問題

$Z$ を整数全体の集合とするとき、次の集合 $A$,　$B$ において、$A\subset B$ かつ $A\ne B$ であることを証明しなさい。

(1)　$A=\{4n-1$ | $n\in Z\}$,　$B=\{2n-1$ | $n\in Z\}$
(2)　$A=\{4n+1$ | $n\in Z\}$,　$B=\{2n-1$ | $n\in Z\}$

解説

① $A\subset B$
② $B\not\subset A$
※②に関しては、$B\subset A$ にならない例を $1$ つ見つければ良い。

(1)　$A=\{4n-1$ | $n\in Z\}$,　$B=\{2n-1$ | $n\in Z\}$

任意の $a\in A$ に対して、
$a=4n-1$ とかける。
$a=4n-1=2\cdot 2n-1$
$2n\in Z$ より

$a\in B$ となるので、$A\subset B$

また、$5\in B$ だが $5\notin A$ となるので、$B\not\subset A$

よって、$A\subset B$ であるが、$A\ne B$ である。

(2)　$A=\{4n+1$ | $n\in Z\}$,　$B=\{2n-1$ | $n\in Z\}$

任意の $a\in A$ に対して、
$a=4n+1$ とかける。
$a=4n+1=2(2n+1)-1$
$2n+1\in Z$ より

$a\in B$ となるので、$A\subset B$

また、$7\in B$ だが $7\notin A$ となるので、 $B\not\subset A$

よって、$A\subset B$ であるが、$A\ne B$ である。

おわりに