【集合】『集合の包括関係の証明』　例題と解説

包括関係の証明

今回は包括関係についての問題を扱います！

\(2\) つの集合の関係を知るために、部分集合や集合の相等について知っておきましょう。

部分集合

集合の相等

\(A\) と \(B\) は等しい
\(\Longleftrightarrow\) \(A=B\)
\(\Longleftrightarrow\) \(A\subset B\) かつ \(B\subset A\)
※全く同じ集合ということ

包括関係の問題

\(Z\) を整数全体の集合とするとき、次の集合 \(A\),　\(B\) において、\(A\subset B\) かつ \(A\neq B\) であることを証明しなさい。

(1)　\(A=\{4n-1\) | \(n\in Z\}\),　\(B=\{2n-1\) | \(n\in Z\}\)
(2)　\(A=\{4n+1\) | \(n\in Z\}\),　\(B=\{2n-1\) | \(n\in Z\}\)

解説

① \(A\subset B\)
② \(B\not\subset A\)
※②に関しては、\(B\subset A\) にならない例を \(1\) つ見つければ良い。

(1)　\(A=\{4n-1\) | \(n\in Z\}\),　\(B=\{2n-1\) | \(n\in Z\}\)

任意の \(a\in A\) に対して、
\(a=4n-1\) とかける。
\(a=4n-1=2\cdot 2n-1\)
\(2n\in Z\) より

\(a\in B\) となるので、\(A\subset B\)

また、\(5\in B\) だが \(5\notin A\) となるので、\(B\not\subset A\)

よって、\(A\subset B\) であるが、\(A\neq B\) である。

(2)　\(A=\{4n+1\) | \(n\in Z\}\),　\(B=\{2n-1\) | \(n\in Z\}\)

任意の \(a\in A\) に対して、
\(a=4n+1\) とかける。
\(a=4n+1=2(2n+1)-1\)
\(2n+1\in Z\) より

\(a\in B\) となるので、\(A\subset B\)

また、\(7\in B\) だが \(7\notin A\) となるので、 \(B\not\subset A\)

よって、\(A\subset B\) であるが、\(A\neq B\) である。

おわりに