【集合】集合とは？集合の意味

要素
→集合に属する \(1\) つ \(1\) つのもの。

\(a \in A\) \(\Longleftrightarrow\) \(a\) は集合 \(A\) の要素である
\(b \notin A\) \(\Longleftrightarrow\) \(b\) は集合 \(A\) の要素でない

集合の表し方
(1)　要素を書き並べて表す。
(2)　要素の満たす条件を述べて表す。

例えば、\(1\) 桁の正の偶数の集合 \(A\) は、

(1) では、
\(A=\{2\),　\(4\),　\(6\),　\(8\}\)
(2) では、
\(A=\{x\) | \(n\) は整数,　\(1\leq n\leq 4\}\) など

\(A\) は \(B\) の部分集合である
\(\Longleftrightarrow\) \(A \subset B\)
\(\Longleftrightarrow\) \(x\in A\) ならば \(x\in B\)

共通部分（交わり）
→ \(A\cap B=\{x\) | \(x\in A\) かつ \(x\in B\}\)

和集合（結び）
→ \(A\cup B=\{x\) | \(x\in A\) または \(x\in B\}\)

補集合
→ 全体集合 \(U\) に属し、\(U\) の部分集合 \(A\) に属さない要素全体の集合。\(\bar{A}\) で表す。

\(\bar{A}=\{x\) | \(x\in U\) かつ \(x\notin A\}\)
とくに、\(A\cap \bar{A}=\emptyset\),　\(A\cap \bar{A}=U\)

　\(\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}\)

図

　\(\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}\)

図

集合 \(A\) の要素の個数を \(n(A)\) で表す。

(1)　\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)
(2)　\(A\cap B=\emptyset\) のとき、\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)\)
(3)　\(n(\bar{A})=n(U)-n(A)\)