・パラドックス問題とは
・モンティホール問題とは
・モンティホール問題の理論的な解説
・モンティホール問題の直感的な解説
パラドックス問題とは
突然ですが、パラドックス問題って聞いたことがありますか？
今回は、ある有名なパラドックス問題とその問題を解明した１人の天才について書いていこうと思います。
一つ例を紹介しましょう。
「私は嘘つきである。」という言葉について
①「私」が本当に嘘つきだとする
この言葉も嘘になるので、「私」は正直者である。
②「私」は本当は正直者だとする
この言葉は本当になるので、「私」は嘘つきである。
それぞれの仮定と結論が矛盾します。
①
仮定：「私」が嘘つきだとする。
結論：「私」は正直者である。
②
仮定：「私」が正直者だとする。
結論：「私」は嘘つきである。
このように、論理的に理解したものと直感的に理解したものが一致しないことをパラドックスと呼び、それに関する興味深い問題が多数存在します。
今回はこの中でもかなり有名な『モンティ・ホール問題』について扉を100個にして解説してみようと思います！まずは一般的なモンティホールについてどうぞ！
モンティホール問題とは
アメリカで放送されていた『Let’s make a deal』というゲームショー番組で、あるゲームが行われました。
このゲームは、挑戦者に３つのドアから１つのドアを選ばさせ、そのドアの向こう側に当たりの商品もしくはハズレの商品どちらかがあるというものでした。
実際にどんなゲームだったのかを紹介するので、みなさんなら直感的にどれを選ぶか考えてみてください。
STEP１
みなさんの目の前に３つのドアが現れます。
このドアの向こうには、当たりの場合は「車」があり、ハズレの場合は「ヤギ」がいます。「車」を引き当てた時にのみ手に入れることができます。
STEP２
この３つのドアから１つのドアを選択します。（このとき、ドアの奥からエンジン音とかヤギの鳴き声は聞こえませんw）
STEP３
次に、このゲームの司会者であるホール氏が図のようにハズレのドアを一つ教えてくれます。
STEP４
ここで司会者は、あなたにこう問います。「最初に選んだ赤い矢印のドアのままにしますか？」それとも「もう一つの緑の矢印のドアに変えますか？」
STEP５
ここで、あなたに質問です。
A：「最初に選んだドアから変えません！」
B：「もう一つの空いてるドアにしようかな…」
C：「どっちにしても一緒だからどっちでもいいって！」
あなたならどれを選びますか？
この問題に対して、IQ230のマリリン・ボス・サヴァントは自身が掲載するコラムにてこう言いました。
「正解は、B『ドアを変える』よ。ドアを変えると変えないときにあたりを引く確率の２倍になるもの。」
「んんん？？変えた方が良い？しかも、確率が２倍になるだと？？？！！！！」この発言に対して、世界中から批判の手紙が届きました。
中には、大学の数学者からも批判が届いたらしいです。「君は明らかなヘマをした世界最高の知能指数保有者である貴女が自ら数学的無知をこれ以上世間に広める愚行を直ちに止め、恥を知るように！」「プロの数学者として、一般大衆の数学的知識の低さを憂慮する。自らの間違いを認める事で現状が改善されます」などなど散々な言われようですね…しかし、これがきっかけで本当のところどうなのか？ということが調べられました。
モンティホール問題の解説
確率の基礎・基本を確認したい方はこちらをチェック
では、本当に変えた方が変えなかった場合の２倍の確率になるかを確認してみましょう。
モンティホール問題の理論的な解説
\((i)\) 最初に選んだドアから変えなかった場合に当たる確率
\((ii)\) もう一つのドアに変更する場合に当たる確率
この２つに場合分けして比べてみます。ドアの配置は左からヤギ、車、ヤギだとします。
\((i)\) 最初に選んだドアから変えなかった場合に当たる確率
①のドアを選ぶ時
司会者は③をハズレと教えてくれます。その後、挑戦者は最初に選んだドアから変えないのでハズレのままです。
②のドアを選ぶ時
司会者は①もしくは③をハズレと教えてくれます。その後、挑戦者は最初に選んだドアから変えないので当たりのままです。
③のドアを選ぶ時
司会者は①をハズレと教えてくれます。その後、挑戦者は最初に選んだドアから変えないのでハズレのままです。
よって、変えなかった場合のあたる確率は、\(\displaystyle\frac{1}{3}\) となります。
\((ii)\) もう一つのドアに変更する場合に当たる確率
①のドアを選ぶ時
司会者は③をハズレと教えてくれます。その後、挑戦者は最初に選んだドアから変えるので、当たりになります。
②のドアを選ぶ時
司会者は①もしくは③をハズレと教えてくれます。その後、挑戦者は最初に選んだドアから変えるので、ハズレになります。
③のドアを選ぶ時
司会者は①をハズレと教えてくれます。その後、挑戦者は最初に選んだドアから変えるので、当たりになります。
よって、もう一つのドアに変える場合の確率は、\(\displaystyle\frac{2}{3}\)となります。
まとめると、
\((i)\) 最初に選んだドアから変えない：\(\displaystyle\frac{1}{3}\)
\((ii)\) もう一つのドアに変える：\(\displaystyle\frac{2}{3}\)
このように、確かにもう一つのドアに変えた場合の方が当たる確率が２倍になっていますね！
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モンティホール問題の直感的な解説（扉100個）
ここまでの内容でピンと来ない人は、ドアの数を増やしてみると良いかもしれません。
「ドアが100個の場合で考えてみましょう！」
最初に選んだドアから変えない方が良いのか？もう一つのドアに変えた方が良いのか？考えてみましょう。
当たりのドアを①とします。
最初に②のドアを選んだとします。
このとき、当たりのドアと選んだドア以外のドアをハズレと教えてくれますので、
このように、③から100までのドアがハズレだとわかります。この時に、「あなたは変えますか？変えませんか？」これなら変えた方が良いというのがわかる方もいるのではないでしょうか？以上が理論的に考えて理解する方法とドアを増やして感覚的に理解する方法でした。
まとめ/さいごに
「モンティ・ホール問題」はパラドックス問題の一つです。
あるテレビ放送で行われたゲームで、直感的にはどのドアを選んでも変わらないように思いますが、理論的に解いてみると倍の差がつくことがわかりました。数学を勉強していくとこういった面白い問題にたくさん出会うことができて、ワクワクが得られます！いろんな確率の問題を解説してますので、こちらも合わせてチェックしてみてください！
↓反復試行の確率
↓条件付き確率
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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