【三角比】『三角形の面積』ヘロンの公式

三角比を使った三角形の面積

今回は三角比を用いた三角形の面積の求め方について解説していきます！

三角形の面積（問題）

次のような \(\triangle{ABC}\) の面積 \(S\) を求めよ。

(1)　\(a=3\),　\(c=2\sqrt{2}\),　\(B=45^{\circ}\)
(2)　\(a=6\),　\(b=5\),　\(c=4\)

解説

(1)　\(a=3\),　\(c=2\sqrt{2}\),　\(B=45^{\circ}\)

\(S=\displaystyle\frac{1}{2} ca\sin B\)

　\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\sin 45^{\circ}\)

　\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\)

　\(=3\)

(2)　\(a=6\),　\(b=5\),　\(c=4\)

\(\cos A=\displaystyle\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+4^2-6^2}{2\cdot 5\cdot 4}\)

　\(=\displaystyle\frac{5}{8\cdot 5}=\frac{1}{8}\)

\(\sin A>0\) であるから

\(\sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}\)

　\(=\sqrt{1-\big(\displaystyle\frac{1}{8}\big)^2}\)

　\(=\displaystyle\frac{3\sqrt{7}}{8}\)

よって、

\(S=\displaystyle\frac{1}{2} bc \sin A\)

　\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4\cdot \frac{3\sqrt{7}}{8}\)

　\(=\displaystyle\frac{15\sqrt{7}}{4}\)

(別解)

ヘロンの公式を用いると、

\(s=\displaystyle\frac{6+5+4}{2}=\frac{15}{2}\)

であるから、

\(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

　\(=\sqrt{\displaystyle\frac{15}{2}\cdot\big(\frac{15}{2}-6\big)\cdot\big(\frac{15}{2}-5\big)\cdot\big(\frac{15}{2}-4\big)}\)

　\(=\sqrt{\displaystyle\frac{15\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2^4}}\)

　\(=\displaystyle\frac{15\sqrt{7}}{4}\)

おわりに