三角比を使った三角形の面積
今回は三角比を用いた三角形の面積の求め方について解説していきます！
▼三角比を用いた三角形の面積
\(S=\displaystyle\frac{1}{2}bc\sin A\)
\(S=\displaystyle\frac{1}{2}ac\sin B\)
\(S=\displaystyle\frac{1}{2}ab\sin C\)
▼ヘロンの公式
\(s=\displaystyle\frac{a+b+c}{2}\)
\(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(3\) 辺の長さがわかっていれば、ヘロンの公式の方が便利です！
三角形の面積（問題）
次のような \(\triangle{ABC}\) の面積 \(S\) を求めよ。
(1) \(a=3\), \(c=2\sqrt{2}\), \(B=45^{\circ}\)
(2) \(a=6\), \(b=5\), \(c=4\)
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解説
(1) \(a=3\), \(c=2\sqrt{2}\), \(B=45^{\circ}\)
\(S=\displaystyle\frac{1}{2} ca\sin B\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\sin 45^{\circ}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=3\)
(2) \(a=6\), \(b=5\), \(c=4\)
\(\cos A=\displaystyle\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+4^2-6^2}{2\cdot 5\cdot 4}\)
\(=\displaystyle\frac{5}{8\cdot 5}=\frac{1}{8}\)
\(\sin A>0\) であるから
\(\sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}\)
\(=\sqrt{1-\big(\displaystyle\frac{1}{8}\big)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{3\sqrt{7}}{8}\)
よって、
\(S=\displaystyle\frac{1}{2} bc \sin A\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4\cdot \frac{3\sqrt{7}}{8}\)
\(=\displaystyle\frac{15\sqrt{7}}{4}\)
(別解)
ヘロンの公式を用いると、
\(s=\displaystyle\frac{6+5+4}{2}=\frac{15}{2}\)
であるから、
\(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{\displaystyle\frac{15}{2}\cdot\big(\frac{15}{2}-6\big)\cdot\big(\frac{15}{2}-5\big)\cdot\big(\frac{15}{2}-4\big)}\)
\(=\sqrt{\displaystyle\frac{15\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2^4}}\)
\(=\displaystyle\frac{15\sqrt{7}}{4}\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。
”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。