【三角比】『三角形の面積』ヘロンの公式

三角比を使った三角形の面積

今回は三角比を用いた三角形の面積の求め方について解説していきます！

三角形の面積（問題）

次のような $\mathrm{△}ABC$ の面積 $S$ を求めよ。

(1)　$a=3$,　$c=2\sqrt{2}$,　$B={45}^{\circ }$
(2)　$a=6$,　$b=5$,　$c=4$

解説

(1)　$a=3$,　$c=2\sqrt{2}$,　$B={45}^{\circ }$

$S={\displaystyle \frac{1}{2}ca\sin B}$

　$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\sin {45}^{\circ }}$

　$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

　$=3$

(2)　$a=6$,　$b=5$,　$c=4$

$\cos A={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+4^2-6^2}{2\cdot 5\cdot 4}}$

　$={\displaystyle \frac{5}{8\cdot 5}=\frac{1}{8}}$

$\sin A>0$ であるから

$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$

　$=\sqrt{1-({\displaystyle \frac{1}{8}{)}^2}}$

　$={\displaystyle \frac{3\sqrt{7}}{8}}$

よって、

$S={\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A}$

　$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4\cdot \frac{3\sqrt{7}}{8}}$

　$={\displaystyle \frac{15\sqrt{7}}{4}}$

(別解)

ヘロンの公式を用いると、

$s={\displaystyle \frac{6+5+4}{2}=\frac{15}{2}}$

であるから、

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

　$=\sqrt{{\displaystyle \frac{15}{2}\cdot (\frac{15}{2}-6)\cdot (\frac{15}{2}-5)\cdot (\frac{15}{2}-4)}}$

　$=\sqrt{{\displaystyle \frac{15\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2^4}}}$

　$={\displaystyle \frac{15\sqrt{7}}{4}}$

おわりに