【二次関数】二次不等式の解き方を２種類解説

二次不等式の解き方

グラフを描いて二次不等式を解く

\(ax^2+bx+c=0\) の解を \(x=\alpha\),　\(\beta\) とする。このとき、

例題）

① \(x^2+3x+2>0\)

\(x^2+3x+2=(x+2)(x+1)>0\)

グラフより、\(x<-2\),　\(-1<x\)

② \(x^2+4x<0\)

\(x(x+4)<0\)

グラフより、\(-4<x<0\)

因数分解を用いて二次不等式を解く

\(a<b\) とすると、
\((x-a)(x-b)>0\) → \(x<a\),　\(b<x\)
\((x-a)(x-b)<0\) → \(a<x<b\)

少し難しい二次不等式の問題

解の公式が必要な二次不等式

例題）\(x^2-6x+7\leq 0\)

\(x^2-6x+7=0\)を解くと、\(x=3\pm\sqrt{2}\) となるので、

\(3-\sqrt{2}<x<3+\sqrt{2}\)

解が存在しない二次不等式

例題）\(x^2+2x+4\leq 0\)

これまでの問題と違う部分

\(x^2+2x+4=0\) にしてみると、これを満たす解が存在しないことがわかります。

判別式 \(D\) を計算してみると、\(D=4-16=-12\) となり、実数解を持たないことがわかります。

グラフを描いてみると、

\(x^2+2x+4=(x+1)^2+3\) となるので、下図のようになります。

よって、すべての実数 \(x\) で \(x^2+2x+4\) が \(0\) 以上になることがわかります。

まとめ

二次不等式は、

① 因数分解することにより解く
② グラフを描くことにより解く

この２つの方法を駆使しながら解くと良いでしょう。しかし、①のように必ずしも因数分解ができるわけではありませんので、②のようにグラフを描く方法もできるようにしておきましょう。記事の内容でよくわからないところがありましたら、下記のお問い合わせフォームよりご連絡ください。