【データの分析】『分散』データAの分散とデータBの分散から全体データの分散を求める問題

2つの分散から1つの分散を求める

今回は、2つのグループの平均値と分散が与えられているとき、その2つを合わせた全体集合の平均値を分散を求める問題です。

平均値は代表値の１つであり、分散はデータの散らばりを表しています。データの散らばりを計算する方法はいくつか種類がありますが、その中でも分散は、各データが平均値からどれくらい離れているか（散らばっているか）を表す値です。

平均値と分散/標準偏差

大きさ $n$ のデータの値を $x_1$,　$x_2$,　$\cdots$,　$x_n$ とするとき、

平均値・分散の問題

ある集団はAとBの２つのグループで構成されている。データを集計したところ、それぞれのグループの個数、平均値、分散は右の表のようになった。このとき、集合全体の平均値と分散を求めよ。

グループ	個数	平均値	分散
A	20	16	24
B	60	12	28

平均値・分散の問題(答案の例)

　グループ A の総和は、$16\times 20=320$
　グループ B の総和は、$12\times 60=720$

したがって、全データの総和は、$320+720=1040$ 。以上のことから平均を求める。

$$1040÷80={\displaystyle \frac{1040}{80}=13（\mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{値}）}$$

グループ A の変量を $a$ でデータの値を、

　$a_1$,　$a_2$,　$\cdots$,　$a_{20}$

グループ B の変量を $b$ でデータの値を、

　$b_1$,　$b_2$,　$\cdots$,　$b_{60}$

とおき、それぞれの分散を $s_a$,　$s_b$ とおくと、$s_a=\overline{a^2}-(\overline{a}{)}^2$ より

$$\begin{array}{rcl}\overline{a^2}& =& s_a+(\overline{a}{)}^2\\ & =& 24+{16}^2=280\end{array}$$

ここで、$\overline{a^2}={\displaystyle \frac{1}{20}(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_{20}^2)}$ より

$$a_1^2+a_2^2+\cdots +a_{20}^2=280\times 20=5600$$

同様にして、$s_b=\overline{b^2}-(\overline{b}{)}^2$ より

$$\begin{array}{rcl} \overline{b^2}& =& s_b+(\overline{b}{)}^2\\ & =& 28+{12}^2=172\end{array}$$

ここで、$\overline{b^2}={\displaystyle \frac{1}{60}(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_{60}^2)}$ より

$$b_1^2+b_2^2+\cdots +b_{60}^2=172\times 60=10320$$

以上のことから、

よって、

したがって、$199-169=30$（分散）

平均値・分散の問題(解説)

データの総和は、（平均値）$\times$（個数）で求めることが出来る。

よって、

　グループ A の総和は、$16\times 20=320$
　グループ B の総和は、$12\times 60=720$

したがって、全データの総和は、$320+720=1040$。以上のことから平均を求める。

$$1040÷80={\displaystyle \frac{1040}{80}=13（\mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{値}）}$$

$(\overline{x}{)}^2={13}^2=169$ なので、$\overline{x^2}$ を求める必要がある。

$$\overline{x^2}={\displaystyle \frac{1}{80}(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_{80}^2)\cdots ※}$$

と表すこともできる。

グループ A の変量を $a$ でデータの値を、

　$a_1$,　$a_2$,　$\cdots$,　$a_{20}$

グループ B の変量を $b$ でデータの値を、

　$b_1$,　$b_2$,　$\cdots$,　$b_{60}$

とおくと、

と表すことができる。それぞれの分散を $s_a$,　$s_b$ とおくと、$s_a=\overline{a^2}-(\overline{a}{)}^2$ より

$$\begin{array}{rcl}\overline{a^2}& =& s_a+(\overline{a}{)}^2\\ & =& 24+{16}^2=280\end{array}$$

ここで、$\overline{a^2}={\displaystyle \frac{1}{20}(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_{20}^2)}$ より

$$a_1^2+a_2^2+\cdots +a_{20}^2=280\times 20=5600$$

同様にして、$s_b=\overline{b^2}-(\overline{b}{)}^2$ より

$$\begin{array}{rcl}\overline{b^2}& =& s_b+(\overline{b}{)}^2\\ & =& 28+{12}^2=172\end{array}$$

ここで、$\overline{b^2}={\displaystyle \frac{1}{60}(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_{60}^2)}$ より

$$b_1^2+b_2^2+\cdots +b_{60}^2=172\times 60=10320$$

以上のことから、

よって、※ に当てはめると、

したがって、（分散）$=\overline{x^2}-(\overline{x}{)}^2$に当てはめると、$199-169=30$（分散）

おわりに

今回は、2つのグループの平均値と分散が与えられているとき、その2つを合わせた全体集合の平均値を分散を求める問題でした。