因数分解（演習問題）
LEVEL1
(1) \(4-2x\)
(2) \(4x-2y+10\)
(3) \(ax-4x\)
(4) \(x^2-4x\)
(5) \(xy+2x^2y-5xy^2\)
(6) \(9a^3x^2y-45ax^3y^2+18a^2xy^3\)
(7) \((x-y)^2+yz-zx\)
答え合わせ
(1) \(2(2-x)\)
(2) \(2(2x-y+5)\)
(3) \(x(a-4)\)
(4) \(x(x-4)\)
(5) \(xy(1+2x-5y)\)
(6) \(9axy(a^2x-5x^2y+2ay^2)\)
(7) \((x-y)(x-y-z)\)
詳しい解説は下の方にあります。
LEVEL2
(1) \(x^2-3x+2\)
(2) \(x^2+7x+12\)
(3) \(x^2+6x+9\)
(4) \(x^2-5x-36\)
(5) \(a^2-x^2\)
(6) \(4x^2-9y^2\)
(7) \(x^2-22x+121\)
(8) \(3x^2-8x+4\)
(9) \(6x^2-5x-14\)
(10) \(8x^2-32\)
(11) \(6a^3b-24ab^3\)
答え合わせ
(1) \((x-1)(x-2)\)
(2) \((x+3)(x+4)\)
(3) \((x+3)^2\)
(4) \((x-9)(x+4)\)
(5) \((a+x)(a-x)\)
(6) \((2x+3y)(2x-3y)\)
(7) \((x-11)^2\)
(8) \((3x-2)(x-2)\)
(9) \((6x+7)(x-2)\)
(10) \(8(x-2)(x+2)\)
(11) \(6ab(a-2b)(a+2b)\)
詳しい解説は下の方にあります。
LEVEL3
(1) \(x^3-27\)
(2) \(64a^3+125b^3\)
(3) \(x^3+6x^2+12x+8\)
(4) \(x^3+x^2-4x-4\)
(5) \(64x^3-1\)
答え合わせ
(1) \((x-3)(x^2+3x-9)\)
(2) \((4a+5b)(16a^2=20ab+25b^2)\)
(3) \((x+2)^3\)
(4) \((x+1)(x+2)(x-2)\)
(5) \((4x-1)(16x^2+4x+1)\)
詳しい解説は下の方にあります。
LEVEL4
(1) \(2(x-1)^2-11(x-1)+15\)
(2) \(x^2-y^2+4y-4\)
(3) \(x^4-10x^2+9\)
(4) \((x^2+3x)^2-2(x^2+3x)-8\)
答え合わせ
(1) \((2x-7)(x-4)\)
(2) \((x+y-2)(x-y+2)\)
(3) \((x+1)(x-1)(x+3)(x-3)\)
(4) \((x+1)(x+2)(x+4)(x-1)\)
詳しい解説は下の方にあります。
LEVEL5
(1) \((x^2-2x-16)(x^2-2x-14)+1\)
(2) \((x+1)(x-5)(x^2-4x+6)+18\)
(3) \((x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-9\)
答え合わせ
(1) \((x-5)^2(x+3)^2\)
(2) \((x-2)^2(x^2-4x-3)\)
(3) \((x-4)^2(x^2-8x+6)\)
詳しい解説は下の方にあります。
LEVEL6
(1) \(a^3b+16-4ab-4a^2\)
(2) \(x^3y+x^2-xyz^2-z^2\)
(3) \(x^2-2xy-3y^2+6x-10y+8\)
(4) \(2x^2-5xy-3y^2+7x+7y-4\)
(5) \(x^4+3x^2+4\)
(6) \(x^4-11x^2y^2+y^4\)
答え合わせ
(1) \((a+2)(a-2)(ab-4)\)
(2) \((x+z)(x-z)(xy+1)\)
(3) \((x-3y+2)(x+y+4)\)
(4) \((2x+y-1)(x-3y+4)\)
(5) \((x^2+x+2)(x^2-x+2)\)
(6) \(x^2+3xy-y^2)(x^2-3xy-y^2)\)
詳しい解説は下の方にあります。
解説
LEVEL1
(1) \(4-2x=2(2-x)\)
(2) \(4x-2y+10=2(2x-y+5)\)
(3) \(ax-4x=x(a-4)\)
(4) \(x^2-4x=x(x-4)\)
(5) \(xy+2x^2y-5xy^2=xy(1+2x-5y)\)
(6) \(9a^3x^2y-45ax^3y^2+18a^2xy^3=9axy(a^2x-5x^2y+2ay^2)\)
(7) \((x-y)^2+yz-zx\)
\(=(x-y)^2+z(y-x)\)
\(=(x-y)^2-z(x-y)\)
\(=(x-y)(x-y-z)\)
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LEVEL2
(1) \(x^2-3x+2\)
\(-1\times (-2)=2\), \(-1+(-2)=-3\) より
\(=(x-1)(x-2)\)
(2) \(x^2+7x+12\)
\(4\times 3=12\), \(4+3=7\) より
\(=(x+4)(x+3)\)
(3) \(x^2+6x+9\)
\(3\times 3=9\), \(3+3=6\) より
\(=(x+3)^2\)
(4) \(x^2-5x-36\)
\(-9\times 4=36\), \(-9+4=-5\) より
\(=(x-9)(x+4)\)
(5) \(a^2-x^2\)
\(=(a+x)(a-x)\)
(6) \(4x^2-9x^2\)
\(=(2x+3y)(2x-3y)\)
(7) \(x^2-22x+121\)
\(-11\times (-11)=121\), \(-11+(-11)=-22\) より
\(=(x-11)^2\)
(8) \(3x^2-8x+4\)
\(3\times (-2)=-6\), \(1\times (-2)=-2\) より
\(=(3x-2)(x-2)\)
(9) \(6x^2-5x-14\)
\(6\times (-2)=-12\), \(1\times 7=7\) より
\(=(6x+7)(x-2)\)
(10) \(8x^2-32\)
\(=8(x^2-4)\)
\(=8(x+2)(x-2)\)
(11) \(6a^3b-24ab^3\)
\(=6ab(a^2-b^2\)
\(=6ab(a+b)(a-b)\)
LEVEL3
(1) \(x^3-27\)
\(=x^3-3^3\)
\(=(x-3)(x^2+3x-9)\)
(2) \(64a^3+125b^3\)
\(=(4a)^3+(5b)^3\)
\(=(4a+5b)(16a^2=20ab+25b^2)\)
(3) \(x^3+6x^2+12x+8\)
\(=x^3+8+6x^2+12x\)
\(=(x+2)(x^2-2x+4)+6x(x+2)\)
\(=(x+2)(x^2-2x+4+6x)\)
\(=(x+2)(x^2+4x+4\)
\(=(x+2)(x+2)^2\)
\(=(x+2)^3\)
※ 公式を使えば一発で求められます。
(4) \(x^3+x^2-4x-4\)
\(=x^2(x+1)-4(x+1)\)
\(=(x+1)(x^2-4)\)
\(=(x+1)(x+2)(x-2)\)
(5) \(64x^3-1\)
\(=(4x)^3-1^3\)
\(=(4x-1)(16x^2+4x+1)\)
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LEVEL4
(1) \(2(x-1)^2-11(x-1)+15\)
\((x-1)=A\) とおく。
\(=2A^2-11A+15\)
\(2\times (-3)=-6\), \(1\times (-5)=-5\)
\(=(2A-5)(A-3)\)
\(A\) に \(x-1\) を戻す。
\(=(2(x-1)-5)((x-1)-3)\)
\(=(2x-7)(x-4)\)
(2) \(x^2-y^2+4y-4\)
\(=x^2-(y^2-4y+4)\)
\(=x^2-(y-2)^2\)
\(=(x+y-2)(x-(y-2))\)
\(=(x+y-2)(x-y+2)\)
(3) \(x^4-10x^2+9\)
\(x^2=A\) とおく
\(=A^2-10A+9\)
\(-9\times (-1)=9\), \(-9+(-1)=-10\)
\(=(A-1)(A-9)\)
\(A\) に \(x^2\) を戻す
\(=(x^2-1)(x^2-9)\)
\(=(x+1)(x-1)(x+3)(x-3)\)
(4) \((x^2+3x)^2-2(x^2+3x)-8\)
\(x^2+3x=A\) とおく
\(=A^2-2A-8\)
\(-4\times 2=-8\), \(-4+2=-2\)
\(=(A+2)(A-4)\)
\(A\) に \(x^2+3x\) を戻す
\(=(x^2+3x+2)(x^2+3x-4)\)
\(=(x+1)(x+2)(x+4)(x-1)\)
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LEVEL5
(1) \((x^2-2x-16)(x^2-2x-14)+1\)
\(x^2-2x=A\) とおく
\(=(A-16)(A-14)+1\)
\(=A^2-30A+224+1\)
\(=A^2-30A+225\)
\(=(A-15)^2\)
\(A\) に \(x^2-2x\) を戻す
\(=(x^2-2x-15)^2\)
\(={(x-5)(x+3)}^2\)
\(=(x-5)^2(x+3)^2\)
(2) \((x+1)(x-5)(x^2-4x+6)+18\)
\(=(x^2-4x-5)(x^2-4x+6)+18\)
\(x^2-4x=A\) とおく
\(=(A-5)(A+6)+18\)
\(=A^2+A-30+18\)
\(=A^2+A-12\)
\(=(A+4)(A-3)\)
\(A\) を \(x^2-4x\) に戻す
\(=(x^2-4x+4)(x^2-4x-3)\)
\(=(x-2)^2(x^2-4x-3)\)
(3) \((x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-9\)
\(=(x-1)(x-7)(x-3)(x-5)-9\)
\(=(x^2-8x+7)(x^2-8x+15)-9\)
\(x^2-8x=A\) とおく
\(=(A+7)(A+15)-9\)
\(=(A^2+22A+105)-9\)
\(=A^2+22A+96\)
\(=(A+16)(A+6)\)
\(=(x^2-8x+16)(x^2-8x+6\)
\(=(x-4)^2(x^2-8x+6)\)
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LEVEL6
(1) \(a^3b+16-4ab-4a^2\)
\(=ab(a^2-4)-4(a^2-4)\)
\(=(a^2-4)(ab-4)\)
\(=(a+2)(a-2)(ab-4)\)
(2) \(x^3y+x^2-xyz^2-z^2\)
\(=xy(x^2-z^2)+(x^2-z^2)\)
\(=(x^2-z^2)(xy+1)\)
\(=(x+z)(x-z)(xy+1)\)
(3) \(x^2-2xy-3y^2+6x-10y+8\)
\(=x^2+(-2y+6)x-(3y^2+10y-8)\)
\(=x^2+(-2y+6)x-(3y-2)(y+4)\)
\(-(3y-2)\times (y+4)=-(3y-2)(y+4)\), \(-(3y-2)+(y+4)=-2y+6\) より
\(=(x-3y+2)(x+y+4)\)
(4) \(2x^2-5xy-3y^2+7x+7y-4\)
\(=2x^2+(-5y+7)x-(3y^2-7y+4)\)
\(=2x^2+(-5y+7)x-(3y-4)(y-1)\)
\(2\times (-(3y-4))=-6y+8\), \(1\times (y-1)=y-1\) より
\(=(2x+y-1)(x-3y+4)\)
(5) \(x^4+3x^2+4\)
\(=(x^4+4x^2+4)-x^2\)
\(=(x^2+2)^2-x^2\)
\(=(x^2+2+x)(x^2+2-x\)
\(=(x^2+x+2)(x^2-x+2)\)
(6) \(x^4-11x^2y^2+y^4\)
\(=x^4-2x^2y^2+y^4-9x^2y^2\)
\(=(x^2-y^2)-9x^2y^2\)
\(=(x^2-y^2+3xy)(x^2-y^2-3xy)\)
\(=x^2+3xy-y^2)(x^2-3xy-y^2)\)
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おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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