【式と証明】『二項定理』演習とその解説

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二項定理とは？
演習問題
解説
おわりに

二項定理とは？

二項定理

(a + b)^{n} =_{n} C_{0} a^{n} b^{0} +_{n} C_{1} a^{n - 1} b^{1} +_{n} C_{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots +_{n} C_{n} a^{n - n} b^{n}

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【式と証明】『二項定理』二項定理とは？覚え方のコツ

演習問題

大問１　次の式を展開しなさい。

(1)　 $(x + y)^{4}$

(2)　 $(2 x + 3)^{5}$

(3)　 $(x - 2 y)^{4}$

(4)　 ${(x + \frac{1}{x})}^{5}$

(5)　 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{4}$

大問２　次の等式を証明せよ。

(1)　 $_{n} C_{0} +_{n} C_{1} +_{n} C_{2} + \dots +_{n} C_{r} + \dots +_{n} C_{n} = 2^{n}$ (2)　 $_{n} C_{0} -_{n} C_{1} +_{n} C_{2} - \dots + (- 1)^{r}_{n} C_{r} + \dots + (- 1)^{n}_{n} C_{n} = 0$

(3)　 $_{n} C_{0} - 2_{n} C_{1} + 2^{2}_{n} C_{2} - \dots + (- 2)^{r}_{n} C_{r} \dots + (- 2)^{n}_{n} C_{n} = (- 1)^{n}$

解説

大問１　次の式を展開しなさい。

(1)　 $(x + y)^{4}$

$= x^{4} +_{4} C_{1} x^{3} y +_{4} C_{2} x^{2} y^{2} +_{4} C_{3} x y^{3} + y^{4}$
$= x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4}$

(2)　 $(2 x + 3)^{5}$

$= (2 x)^{5} +_{5} C_{1} (2 x)^{4} \cdot 3 +_{5} C_{2} (2 x)^{3} \cdot 3^{2} +_{5} C_{3} (2 x)^{2} \cdot 3^{3} +_{5} C_{4} 2 x \cdot 3^{4} + 3^{5}$
$= 32 x^{5} + 5 \cdot 16 x^{4} \cdot 3 + 10 \cdot 8 x^{3} \cdot 9 + 10 \cdot 4 x^{2} \cdot 27 + 5 \cdot 2 x \cdot 81 + 243$
$= 32 x^{5} + 240 x^{4} + 720 x^{3} + 1080 x^{2} + 810 x + 243$

(3)　 $(x - 2 y)^{4}$

$= x^{4} +_{4} C_{1} x^{3} (- 2 y) +_{4} C_{2} x^{2} (- 2 y)^{2} +_{4} C_{3} x^{1} (- 2 y)^{3} + (- 2 y)^{4}$
$= x^{4} + 4 x^{3} (- 2 y) + 6 x^{2} \cdot 4 y^{2} + 4 x^{1} (- 8 y^{3}) + 16 y^{4}$
$= x^{4} - 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} - 32 x y^{3} + 16 y^{4}$

(4)　 ${(x + \frac{1}{x})}^{5}$

$= x^{5} +_{5} C_{1} x^{4} \cdot \frac{1}{x} +_{5} C_{2} x^{3} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} +_{5} C_{3} x^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3} +_{5} C_{4} x \cdot {(\frac{1}{x})}^{4} + {(\frac{1}{x})}^{5}$
$= x^{5} + 5 x^{4} \cdot \frac{1}{x} + 10 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + 10 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{3}} + 5 x \cdot \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{5}}$
$= x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + \frac{1}{x^{5}}$

(5)　 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{4}$

$= (2 x)^{4} +_{4} C_{1} \cdot (2 x)^{3} \cdot (- \frac{1}{x}) +_{4} C_{2} \cdot (2 x)^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} +_{4} C_{3} \cdot 2 x \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3} + {(- \frac{1}{x})}^{4}$
$= 16 x^{4} + 32 x^{3} \cdot (- \frac{1}{x}) + 24 x^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 8 x \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3} + {(- \frac{1}{x})}^{4}$
$= 16 x^{4} - 32 x^{2} + 12 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}$

大問２　次の等式を証明せよ。

$(1 + x)^{n}$ の展開式を用いる。

(1 + x)^{n} =_{n} C_{0} 1^{n} +_{n} C_{1} 1^{n - 1} x^{1} +_{n} C_{2} 1^{n - 2} x^{2} + \dots +_{n} C_{r} 1^{n - r} x^{r} + \dots +_{n} C_{n} x^{n}

\dots

※

(1)　 $_{n} C_{0} +_{n} C_{1} +_{n} C_{2} + \dots +_{n} C_{r} + \dots +_{n} C_{n} = 2^{n}$ ※に $x = 1$ を代入すると、

$(1 + 1)^{n} =_{n} C_{0} +_{n} C_{1} +_{n} C_{2} + \dots +_{n} C_{r} + \dots +_{n} C_{n}$

よって、 $_{n} C_{0} +_{n} C_{1} +_{n} C_{2} + \dots +_{n} C_{r} + \dots +_{n} C_{n} = 2^{n}$

(2)　 $_{n} C_{0} -_{n} C_{1} +_{n} C_{2} - \dots + (- 1)^{r}_{n} C_{r} + \dots + (- 1)^{n}_{n} C_{n} = 0$ ※に $x = - 1$ を代入すると、

$(1 + (- 1))^{n} =_{n} C_{0} 1^{n} +_{n} C_{1} 1^{n - 1} (- 1)^{1} +_{n} C_{2} 1^{n - 2} (- 1)^{2} + \dots +_{n} C_{r} 1^{n - r} (- 1)^{r} + \dots +_{n} C_{n} (- 1)^{n}$

$0^{n} =_{n} C_{0} -_{n} C_{1} +_{n} C_{2} - \dots + (- 1)^{r}_{n} C_{r} + \dots + (- 1)^{n}_{n} C_{n}$

よって、 $_{n} C_{0} -_{n} C_{1} +_{n} C_{2} - \dots + (- 1)^{r}_{n} C_{r} + \dots + (- 1)^{n}_{n} C_{n} = 0$

(3)　 $_{n} C_{0} - 2_{n} C_{1} + 2^{2}_{n} C_{2} + \dots + (- 2)^{r}_{n} C_{r} + \dots + (- 2)^{n}_{n} C_{n} = (- 1)^{n}$

$(1 + (- 2))^{n} =_{n} C_{0} 1^{n} +_{n} C_{1} 1^{n - 1} (- 2)^{1} +_{n} C_{2} 1^{n - 2} (- 2)^{2} + \dots +_{n} C_{r} 1^{n - r} (- 2)^{r} + \dots +_{n} C_{n} (- 2)^{n}$

$(- 1)^{n} =_{n} C_{0} - 2_{n} C_{1} + 2^{2}_{n} C_{2} - \dots + (- 2)^{r}_{n} C_{r} + \dots + (- 2)^{n}_{n} C_{n}$

よって、 $_{n} C_{0} - 2_{n} C_{1} + 2^{2}_{n} C_{2} + \dots + (- 2)^{r}_{n} C_{r} + \dots + (- 2)^{n}_{n} C_{n} = (- 1)^{n}$

おわりに

以上が二項定理を使った演習問題でした。

さいごまで読んでいただきありがとうございました！

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

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