【因数分解】『演習問題』３次式の展開・因数分解

３次式の展開・因数分解（公式）

３次式の展開・因数分解（演習問題）

STEP1

次の式を因数分解しなさい。

(1)　\(x^3+y^3\)

(2)　\(x^3+8\)

(3)　\(a^3-27\)

(4)　\(8x^3+1\)

(5)　\(27a^3-8b^3\)

次の式を展開しなさい。

(1)　\((x+y)^3\)

(2)　\((x+2y)^3\)

(3)　\((2a-b)^3\)

詳しい解説は下の方にあります。

STEP2

次の式を因数分解しなさい。

(1)　\(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\)

(2)　\(8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3\)

(3)　\(8a^3-36a^2b+54ab^2-27b^3\)

次の式を展開しなさい。

(1)　\((x+y)(x^2-xy+y^2)\)

(2)　\((2x-y)(4x^2+2xy+y^2)\)

詳しい解説は下の方にあります。

STEP3

次の式を因数分解しなさい。

(1)　\(16x^3+54y^3\)

(2)　\(ax^3-ay^3\)

(3)　\((a-b)^3+b^3\)

次の式を展開しなさい。

(1)　\((a+b)^3(a-b)^3\)

(2)　\((x+3)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-3x+9)\)

詳しい解説は下の方にあります。

解説

STEP1

次の式を因数分解しなさい。

(1)　\(x^3+y^3\)

\(=(x+y)(x^2-xy+y^2)\)

(2)　\(x^3+8\)

\(=x^3+2^3\)
\(=(x+2)(x^2-2x+4)\)

(3)　\(a^3-27\)

\(=a^3-3^3\)
\(=(a-3)(a^2+3x+9)\)

(4)　\(8x^3+1\)

\(=(2x)^3+1^3\)
\(=(2x+1)(4x^2-2x+1)\)

(5)　\(27a^3-8b^3\)

\(=(3a)^3-(2b)^3\)
\(=(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)\)

次の式を展開しなさい。

(1)　\((x+y)^3\)

\(=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\)

(2)　\((x+2y)^3\)

\(=x^3+3\cdot x^2\cdot 2y+3\cdot x\cdot (2y)^2+(2y)^3\)
\(=x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3\)

(3)　\((2a-b)^3\)

\(=(2a)^3+3\cdot (2a)^2\cdot (-b)+3\cdot 2a\cdot (-b)^2+(-b)^3\)
\(=8a^3-12a^2b+6ab^2-b^3\)

STEP2

次の式を因数分解しなさい。

(1)　\(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\)

\(=(x+y)^3\)

(2)　\(8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3\)

\(=(2x)^3+3\cdot (2x)^2\cdot y+3\cdot 2x\cdot y^2+y^3\)
\(=(2x+y)^3\)

(3)　\(8a^3-36a^2b+54ab^2-27b^3\)

\(=(2a)^3+3\cdot 2a^2\cdot (-3b)+3\cdot 2a\cdot (-3b)^2+(-3b)^3\)
\(=(2a-3b)^3\)

次の式を展開しなさい。

(1)　\((x+y)(x^2-xy+y^2)\)

\(=x^3+y^3\)

(2)　\((2x-y)(4x^2+2xy+y^2)\)

\(=(2x)^3+(-y)^3\)
\(=8x^3-y^3\)

STEP3

次の式を因数分解しなさい。

(1)　\(16x^3+54y^3\)

\(=2(8x^3+27y^3)\)
\(=2{(2x)^3+(3y)^3}\)
\(=2(2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2)\)

(2)　\(ax^3-ay^3\)

\(=a(x^3-y^3)\)
\(=a(x-y)(x^2+xy+y^2)\)

(3)　\((a-b)^3+b^3\)

\(={(a-b)+b}{(a-b)^2-(a-b)\times b+b^2}\)
\(=a(a^2-2ab+b^2-ab+b^2+b^2)\)
\(=a(a^2-3ab+3b^2)\)

次の式を展開しなさい。

(1)　\((a+b)^3(a-b)^3\)

\(={(a+b)(a-b)}^3\)
\(=(a^2-b^2)^3\)
\(=(a^2)^3+3\cdot (a^2)^2\cdot (-b^2)+3\cdot a^2\cdot (-b^2)^2+(-b^2)^3\)
\(=a^6-3a^4b^2+3a^2b^4-b^6\)

(2)　\((x+3)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-3x+9)\)

\(=(x+3)(x^2-3x+9)(x-1)(x^2+x+1)\)
\(=(x^3+3^3)(x^3+(-1)^3)\)
\(=(x^3+27)(x^3-1)\)
\(=x^6-x^3+27x^3-27\)
\(=x^6+26x^3-27\)

おわりに

以下に因数分解の公式をまとめておりますので、不安な方は確認してみてください。

↓因数分解の公式まとめ

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