３次式の展開・因数分解（公式）
公式
1. \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
2. \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2\)
3. \(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3\)
4. \(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\)
３次式の展開・因数分解（演習問題）
STEP1
次の式を因数分解しなさい。
(1) \(x^3+y^3\)
(2) \(x^3+8\)
(3) \(a^3-27\)
(4) \(8x^3+1\)
(5) \(27a^3-8b^3\)
次の式を展開しなさい。
(1) \((x+y)^3\)
(2) \((x+2y)^3\)
(3) \((2a-b)^3\)
答え合わせ
次の式を因数分解しなさい。
(1) \((x+y)(x^2-xy+y^2)\)
(2) \((x+2)(x^2-2x+4)\)
(3) \((a-3)(a^2+3a+9)\)
(4) \((2x+1)(4x^2-2x+1)\)
(5) \((3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)\)
次の式を展開しなさい。
(1) \((x^3+3x^2y+3xy^2+y^3)\)
(2) \((x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3)\)
(3) \((8a^3-12a^2b+6ab^2-b^3)\)
詳しい解説は下の方にあります。
STEP2
次の式を因数分解しなさい。
(1) \(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\)
(2) \(8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3\)
(3) \(8a^3-36a^2b+54ab^2-27b^3\)
次の式を展開しなさい。
(1) \((x+y)(x^2-xy+y^2)\)
(2) \((2x-y)(4x^2+2xy+y^2)\)
答え合わせ
次の式を因数分解しなさい。
(1) \((x+y)^3\)
(2) \((2x+y)^3\)
(3) \((2a-3b)^3\)
次の式を展開しなさい。
(1) \(x^3+y^3\)
(2) \(8x^3-y^3\)
詳しい解説は下の方にあります。
STEP3
次の式を因数分解しなさい。
(1) \(16x^3+54y^3\)
(2) \(ax^3-ay^3\)
(3) \((a-b)^3+b^3\)
次の式を展開しなさい。
(1) \((a+b)^3(a-b)^3\)
(2) \((x+3)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-3x+9)\)
答え合わせ
次の式を因数分解しなさい。
(1) \(2(2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2)\)
(2) \(a(x-y)(x^2+xy+y^2)\)
(3) \(a(a^2-3ab+3b^2)\)
次の式を展開しなさい。
(1) \(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
(2) \(x^6+24x^3-27\)
詳しい解説は下の方にあります。
解説
STEP1
次の式を因数分解しなさい。
(1) \(x^3+y^3\)
\(=(x+y)(x^2-xy+y^2)\)
(2) \(x^3+8\)
\(=x^3+2^3\)
\(=(x+2)(x^2-2x+4)\)
(3) \(a^3-27\)
\(=a^3-3^3\)
\(=(a-3)(a^2+3x+9)\)
(4) \(8x^3+1\)
\(=(2x)^3+1^3\)
\(=(2x+1)(4x^2-2x+1)\)
(5) \(27a^3-8b^3\)
\(=(3a)^3-(2b)^3\)
\(=(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)\)
次の式を展開しなさい。
(1) \((x+y)^3\)
\(=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\)
(2) \((x+2y)^3\)
\(=x^3+3\cdot x^2\cdot 2y+3\cdot x\cdot (2y)^2+(2y)^3\)
\(=x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3\)
(3) \((2a-b)^3\)
\(=(2a)^3+3\cdot (2a)^2\cdot (-b)+3\cdot 2a\cdot (-b)^2+(-b)^3\)
\(=8a^3-12a^2b+6ab^2-b^3\)
STEP2
次の式を因数分解しなさい。
(1) \(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\)
\(=(x+y)^3\)
(2) \(8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3\)
\(=(2x)^3+3\cdot (2x)^2\cdot y+3\cdot 2x\cdot y^2+y^3\)
\(=(2x+y)^3\)
(3) \(8a^3-36a^2b+54ab^2-27b^3\)
\(=(2a)^3+3\cdot 2a^2\cdot (-3b)+3\cdot 2a\cdot (-3b)^2+(-3b)^3\)
\(=(2a-3b)^3\)
次の式を展開しなさい。
(1) \((x+y)(x^2-xy+y^2)\)
\(=x^3+y^3\)
(2) \((2x-y)(4x^2+2xy+y^2)\)
\(=(2x)^3+(-y)^3\)
\(=8x^3-y^3\)
STEP3
次の式を因数分解しなさい。
(1) \(16x^3+54y^3\)
\(=2(8x^3+27y^3)\)
\(=2{(2x)^3+(3y)^3}\)
\(=2(2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2)\)
(2) \(ax^3-ay^3\)
\(=a(x^3-y^3)\)
\(=a(x-y)(x^2+xy+y^2)\)
(3) \((a-b)^3+b^3\)
\(={(a-b)+b}{(a-b)^2-(a-b)\times b+b^2}\)
\(=a(a^2-2ab+b^2-ab+b^2+b^2)\)
\(=a(a^2-3ab+3b^2)\)
次の式を展開しなさい。
(1) \((a+b)^3(a-b)^3\)
\(={(a+b)(a-b)}^3\)
\(=(a^2-b^2)^3\)
\(=(a^2)^3+3\cdot (a^2)^2\cdot (-b^2)+3\cdot a^2\cdot (-b^2)^2+(-b^2)^3\)
\(=a^6-3a^4b^2+3a^2b^4-b^6\)
(2) \((x+3)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-3x+9)\)
\(=(x+3)(x^2-3x+9)(x-1)(x^2+x+1)\)
\(=(x^3+3^3)(x^3+(-1)^3)\)
\(=(x^3+27)(x^3-1)\)
\(=x^6-x^3+27x^3-27\)
\(=x^6+26x^3-27\)
おわりに
以下に因数分解の公式をまとめておりますので、不安な方は確認してみてください。
↓因数分解の公式まとめ
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さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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