【因数分解】『演習問題』３次式の展開・因数分解

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３次式の展開・因数分解（公式）
３次式の展開・因数分解（演習問題）
解説
おわりに

３次式の展開・因数分解（公式）

公式

1.　 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

2.　 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}$

3.　 $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = (a + b)^{3}$

4.　 $a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = (a - b)^{3}$

３次式の展開・因数分解（演習問題）

STEP1

次の式を因数分解しなさい。

(1)　 $x^{3} + y^{3}$

(2)　 $x^{3} + 8$

(3)　 $a^{3} - 27$

(4)　 $8 x^{3} + 1$

(5)　 $27 a^{3} - 8 b^{3}$

次の式を展開しなさい。

(1)　 $(x + y)^{3}$

(2)　 $(x + 2 y)^{3}$

(3)　 $(2 a - b)^{3}$

答え合わせ

次の式を因数分解しなさい。

(1)　 $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$

(2)　 $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

(3)　 $(a - 3) (a^{2} + 3 a + 9)$

(4)　 $(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)$

(5)　 $(3 a - 2 b) (9 a^{2} + 6 a b + 4 b^{2})$

次の式を展開しなさい。

(1)　 $(x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3})$

(2)　 $(x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + 8 y^{3})$

(3)　 $(8 a^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2} - b^{3})$

詳しい解説は下の方にあります。

STEP2

次の式を因数分解しなさい。

(1)　 $x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$

(2)　 $8 x^{3} + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + y^{3}$

(3)　 $8 a^{3} - 36 a^{2} b + 54 a b^{2} - 27 b^{3}$

次の式を展開しなさい。

(1)　 $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$

(2)　 $(2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2})$

答え合わせ

次の式を因数分解しなさい。

(1)　 $(x + y)^{3}$

(2)　 $(2 x + y)^{3}$

(3)　 $(2 a - 3 b)^{3}$

次の式を展開しなさい。

(1)　 $x^{3} + y^{3}$

(2)　 $8 x^{3} - y^{3}$

詳しい解説は下の方にあります。

STEP3

次の式を因数分解しなさい。

(1)　 $16 x^{3} + 54 y^{3}$

(2)　 $a x^{3} - a y^{3}$

(3)　 $(a - b)^{3} + b^{3}$

次の式を展開しなさい。

(1)　 $(a + b)^{3} (a - b)^{3}$

(2)　 $(x + 3) (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - 3 x + 9)$

答え合わせ

次の式を因数分解しなさい。

(1)　 $2 (2 x + 3 y) (4 x^{2} - 6 x y + 9 y^{2})$

(2)　 $a (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$

(3)　 $a (a^{2} - 3 a b + 3 b^{2})$

次の式を展開しなさい。

(1)　 $a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

(2)　 $x^{6} + 24 x^{3} - 27$

詳しい解説は下の方にあります。

解説

STEP1

次の式を因数分解しなさい。

(1)　 $x^{3} + y^{3}$

$= (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$

(2)　 $x^{3} + 8$

$= x^{3} + 2^{3}$
$= (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

(3)　 $a^{3} - 27$

$= a^{3} - 3^{3}$
$= (a - 3) (a^{2} + 3 x + 9)$

(4)　 $8 x^{3} + 1$

$= (2 x)^{3} + 1^{3}$
$= (2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)$

(5)　 $27 a^{3} - 8 b^{3}$

$= (3 a)^{3} - (2 b)^{3}$
$= (3 a - 2 b) (9 a^{2} + 6 a b + 4 b^{2})$

次の式を展開しなさい。

(1)　 $(x + y)^{3}$

$= x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$

(2)　 $(x + 2 y)^{3}$

$= x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 2 y + 3 \cdot x \cdot (2 y)^{2} + (2 y)^{3}$
$= x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + 8 y^{3}$

(3)　 $(2 a - b)^{3}$

$= (2 a)^{3} + 3 \cdot (2 a)^{2} \cdot (- b) + 3 \cdot 2 a \cdot (- b)^{2} + (- b)^{3}$
$= 8 a^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2} - b^{3}$

STEP2

次の式を因数分解しなさい。

(1)　 $x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$

$= (x + y)^{3}$

(2)　 $8 x^{3} + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + y^{3}$

$= (2 x)^{3} + 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot y + 3 \cdot 2 x \cdot y^{2} + y^{3}$
$= (2 x + y)^{3}$

(3)　 $8 a^{3} - 36 a^{2} b + 54 a b^{2} - 27 b^{3}$

$= (2 a)^{3} + 3 \cdot 2 a^{2} \cdot (- 3 b) + 3 \cdot 2 a \cdot (- 3 b)^{2} + (- 3 b)^{3}$
$= (2 a - 3 b)^{3}$

次の式を展開しなさい。

(1)　 $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$

$= x^{3} + y^{3}$

(2)　 $(2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2})$

$= (2 x)^{3} + (- y)^{3}$
$= 8 x^{3} - y^{3}$

STEP3

次の式を因数分解しなさい。

(1)　 $16 x^{3} + 54 y^{3}$

$= 2 (8 x^{3} + 27 y^{3})$
$= 2 (2 x)^{3} + (3 y)^{3}$
$= 2 (2 x + 3 y) (4 x^{2} - 6 x y + 9 y^{2})$

(2)　 $a x^{3} - a y^{3}$

$= a (x^{3} - y^{3})$
$= a (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$

(3)　 $(a - b)^{3} + b^{3}$

$= (a - b) + b (a - b)^{2} - (a - b) \times b + b^{2}$
$= a (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + b^{2} + b^{2})$
$= a (a^{2} - 3 a b + 3 b^{2})$

次の式を展開しなさい。

(1)　 $(a + b)^{3} (a - b)^{3}$

$= {(a + b) (a - b)}^{3}$
$= (a^{2} - b^{2})^{3}$
$= (a^{2})^{3} + 3 \cdot (a^{2})^{2} \cdot (- b^{2}) + 3 \cdot a^{2} \cdot (- b^{2})^{2} + (- b^{2})^{3}$
$= a^{6} - 3 a^{4} b^{2} + 3 a^{2} b^{4} - b^{6}$

(2)　 $(x + 3) (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - 3 x + 9)$

$= (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) (x - 1) (x^{2} + x + 1)$
$= (x^{3} + 3^{3}) (x^{3} + (- 1)^{3})$
$= (x^{3} + 27) (x^{3} - 1)$
$= x^{6} - x^{3} + 27 x^{3} - 27$
$= x^{6} + 26 x^{3} - 27$

おわりに

以下に因数分解の公式をまとめておりますので、不安な方は確認してみてください。

↓因数分解の公式まとめ

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

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