【集合】『集合の相等』2つの集合が等しいことを示す

集合の相等の証明

今回は集合の相等の証明問題です！

\(2\) つの集合が等しいとは以下のことを言います。

集合 \(A\) と 集合 \(B\) は等しい
　\(\Longleftrightarrow\) \(A=B\)
　\(\Longleftrightarrow\) \(A\subset B\) かつ \(B\subset A\)
※全く同じ要素を持つ集合ということ

集合の相等（問題）

\(Z\) を整数全体の集合とするとき、次の集合 \(A\), \(B\) は等しいことを証明しなさい。

　\(A=\{4x+3y\) | \(x\in Z\),　\(y\in Z\}\),　\(B=\{5x+2y\) | \(x\in Z\),　\(y\in Z\}\)

集合の相等（解説）

\(A\subset B\) かつ \(B\subset A\) であることを示す。

i ) \(A\subset B\)

任意の \(a\in A\) において \(a=4x+3y\) とかける。
\(a=4x+3y=5y+2(2x-y)\)

\(5\times\)(整数)\(+2\times\)(整数) になるように式変形をする。

\(y\in Z\), \(2x-y\in Z\) より
\(a\in B\) となり、\(A\subset B\)

ii ) \(B\subset A\)

任意の \(b\in B\) において \(b=5x+2y\) とかける。
\(b=5x+2y=4(2x-y)+3(-x+2y)\)

\(4\times\)(整数)\(+3\times\)(整数) になるように式変形をする。

\(2x-y\in Z\), \(-x+2y\in Z\) より
\(b\in A\) となり、\(B\subset A\)

i ) ii )より、\(A=B\)

おわりに