【集合】『倍数の個数』100から200までの整数中の特定の倍数の個数を求める問題

100から200までの倍数の個数

今回は集合の要素の個数を求める問題です！

その中でも100から200までの倍数の個数を求める問題を解説していきます。

倍数の個数の求め方

例）$100$ までで $3$ の倍数はいくつあるでしょうか？

$3\times 1$,　$3\times 2$, $\cdots$ $3\times 66$

※ $3\times 67=201$ となり、$200$ を越えてしまいます。

よって、$66$ 個

倍数の個数(問題)

$100$ から $200$ までの整数のうち、$5$ または $8$ の倍数となる整数の個数を求めなさい。

倍数の個数(答案の例)

• $5$ の倍数となる整数の集合を $A$
• $8$ の倍数となる整数の集合を $B$

とする。

① $n(A)$ を求める

　$5\times 20$,　$5\times 21$, $\cdots$, $5\times 40$

よって、$40-20+1=21$

したがって、$n(A)=21$

② $n(B)$ を求める

　$8\times 13$,　$8\times 14$, $\cdots$, $8\times 25$

よって、$25-13+1=13$

したがって、$n(B)=13$

③ $n(A\cap B)$ を求める

　$5$ の倍数かつ $8$ の倍数は、$40$ の倍数なので、

　$40\times 3$,　$40\times 4$,　$40\times 5$

よって、$5-3+1=3$

したがって、$n(A\cap B)=3$

　$n(A\cup B)=21+13-3=31$

倍数の個数(解説)

求めたいことを記号で表します。
「 $5$ または $8$ の倍数となる整数の個数」を言い換えていくと、
「 $5$ の倍数または $8$ の倍数となる整数の個数」となります。

ここで、

•  $5$ の倍数となる整数の集合を $A$
• $8$ の倍数となる整数の集合を $B$

とする。

「 $A\cup B$ の個数」は、$n(A\cup B)$
と表せる。

ベン図から $n(A\cup B)$ を求める公式を導く。

$n(A\cup B)$ を求めるために、$n(A)$ と $n(B)$ を単純に足してしまうと、

図 1 の 斜線部分を余計に（ $2$ 回）足してしまう。

なので、$n(A\cap B)$（斜線部分）を引かなければならない。

よって、$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$

それぞれの個数を求める。

① $n(A)$ を求める

　$5\times 20$,　$5\times 21$, $\cdots$, $5\times 40$

よって、$40-20+1=21$

したがって、$n(A)=21$

② $n(B)$ を求める

　$8\times 13$,　$8\times 14$, $\cdots$, $8\times 25$

よって、$25-13+1=13$

したがって、$n(B)=13$

③ $n(A\cap B)$ を求める

　$5$ の倍数かつ $8$ の倍数は、$40$ の倍数なので、

　$40\times 3$,　$40\times 4$,　$40\times 5$

よって、$5-3+1=3$

したがって、$n(A\cap B)=3$

公式に当てはめる

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ より

　$n(A\cup B)=21+13-3=31$

おわりに

今回は、集合の要素の個数の問題でした。

主に使用する公式はこちらになります。