【命題】『対偶』対偶を用いた証明問題

対偶を用いた証明

今回は対偶を用いた証明問題です。

対偶とは、「$P$ ならば $Q$ である」に対して、「$Q$ でないならば $P$ でない。」のことです。

対偶を用いた証明(問題)

整数 $a$,　$b$ について、積 $ab$が $3$の倍数ならば $a$ または $b$ は $3$ の倍数である。この命題を証明せよ。

答案の例

対偶にすると「$a$ は $3$ の倍数ではない」かつ「$b$ は $3$ の倍数ではない」となる。

① $a=3k+1$,　$b=3l+1$ の時

$$\begin{array}{rcl}ab& =& (3k+1)(3l+1)\\ & =& 9kl+3k+3l+1\\ & =& 3(3kl+k+l)+1\end{array}$$

$3kl+k+l$ は整数より、$ab$ は $3$ の倍数ではない。

② $a=3k+1$,　$b=3l+2$ の時

$$\begin{array}{rcl}ab& =& (3k+1)(3l+2)\\ & =& 9kl+6k+3l+2\\ & =& 3(3kl+2k+l)+2\end{array}$$

$3kl+2k+l$ は整数より、$ab$ は $3$ の倍数ではない。

③ $a=3k+2$,　$b=3l+1$ の時

$$\begin{array}{rcl}ab& =& (3k+2)(3l+1)\\ & =& 9kl+3k+6l+2\\ & =& 3(3kl+k+2l)+2\end{array}$$

$3kl+k+2l$ は整数より、$ab$ は $3$ の倍数ではない。

④ $a=3k+2$,　$b=3l+2$ の時

$$\begin{array}{rcl}ab& =& (3k+2)(3l+2)\\ & =& 9kl+6k+6l+4\\ & =& 3(3kl+2k+2l+1)+1\end{array}$$

$3kl+2k+2l+1$ は整数より、$ab$ は $3$ の倍数ではない。

①〜④により題意は示された。

解説

対偶にすると、

$a$ かつ $b$ は $3$ の倍数ではない。ならば、積 $ab$ は $3$ の倍数ではない。

「$a$ かつ $b$ は $3$ の倍数ではない」を言い換えると、「$a$ は $3$ の倍数ではない」かつ「$b$ は $3$ の倍数ではない」となる。

　$a$ は $3$ の倍数ではない ⇨ $a=3k+1$,　$3k+2$　($k$ は整数)

　$b$ は $3$ の倍数ではない ⇨ $b=3l+1$,　$3l+2$　($l$ は整数)

すべての整数は、$3k$,　$3k+1$,　$3k+2$ と表されるので、

以上より、「$a$ は $3$ の倍数ではない」かつ「$b$ は $3$ の倍数ではない」とは、以下の場合分けを確認すれば良い。

実際に確認してみる。

① $a=3k+1$,　$b=3l+1$ の時

$$\begin{array}{rcl}ab& =& (3k+1)(3l+1)\\ & =& 9kl+3k+3l+1\\ & =& 3(3kl+k+l)+1\end{array}$$

$3kl+k+l$ は整数より、$ab$ は $3$ の倍数ではない。

② $a=3k+1$,　$b=3l+2$ の時

$$\begin{array}{rcl}ab& =& (3k+1)(3l+2)\\ & =& 9kl+6k+3l+2\\ & =& 3(3kl+2k+l)+2\end{array}$$

$3kl+2k+l$ は整数より、$ab$ は $3$ の倍数ではない。

③ $a=3k+2$,　$b=3l+1$ の時

$$\begin{array}{rcl}ab& =& (3k+2)(3l+1)\\ & =& 9kl+3k+6l+2\\ & =& 3(3kl+k+2l)+2\end{array}$$

$3kl+k+2l$ は整数より、$ab$ は $3$ の倍数ではない。

④ $a=3k+2$,　$b=3l+2$ の時

$$\begin{array}{rcl}ab& =& (3k+2)(3l+2)\\ & =& 9kl+6k+6l+4\\ & =& 3(3kl+2k+2l+1)+1\end{array}$$

$3kl+2k+2l+1$ は整数より、$ab$ は $3$ の倍数ではない。

①〜④により題意は示された。

おわりに

今回は、対偶を用いた証明問題でした。

「どんなときに対偶を使うの？」と迷った場合は、対偶にしていないパターンと対偶にしたパターン両方で計算しみてみるのも一つの手でしょう。