【命題】『背理法』背理法を用いた証明問題

背理法を用いた証明

今回は、背理法を用いた証明問題です。

証明問題は苦手な方が多いと思います。しかし、高校数学の証明問題は細かいことは気にせずに、最初のうちはパターン化して覚えてしまうのが意外と近道な場合があります。パターン化させて機械的に解いていると、知らないうちに理解できているものです。

背理法
ある命題 $X$ に対し、$X$ が成り立たないと仮定して、矛盾を導くことにより、$X$ が成り立つことを示す証明法のことをいう。

背理法の例
「〜である」　　　→「〜でない」と仮定する。
「無理数である。」→「有理数である。」と仮定する。
「$=$」　　　　　→「$\ne$」と仮定する。

背理法の問題

$\sqrt{5}+\sqrt{7}$ は無理数であることを証明せよ。ただし、$\sqrt{7}$ は無理数であることは知られているものとする。

答案の例

$\sqrt{5}+\sqrt{7}$ は有理数であると仮定する。

$\sqrt{5}+\sqrt{7}=r$とおく。

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{5}& =& r-\sqrt{7}\\ 5& =& r^2-2r\sqrt{7}+7\\ 2r\sqrt{7}& =& r^2+2\\ \sqrt{7}& =& {\displaystyle \frac{r^2+2}{2r}}\end{array}$$

$r$ は有理数より、$2r$ と $r^2+2$ も共に有理数となる。

よって、${\displaystyle \frac{r^2+2}{2r}}$ は有理数となり、左辺の $\sqrt{7}$ も有理数となる。

これは $\sqrt{7}$ が無理数であることに矛盾する。したがって、$\sqrt{5}+\sqrt{7}$ は無理数である。

解説

与式を文字に置く

$\sqrt{5}+\sqrt{7}=r$ とおく。

$\sqrt{5}+\sqrt{7}$ は有理数であると仮定しているので、$r$ も有理数

　$\sqrt{5}=r-\sqrt{7}$

両辺を2乘すると、

　$5=r^2-2r\sqrt{7}+7$

　$2r\sqrt{7}=r^2+2$

　$\sqrt{7}={\displaystyle \frac{r^2+2}{2r}}$

矛盾を見つける。

　$\sqrt{7}={\displaystyle \frac{r^2+2}{2r}}$ について

$r$ は有理数より、$2r$ と $r^2+2$ も共に有理数となる。

よって、${\displaystyle \frac{r^2+2}{2r}}$は有理数となり、左辺の $\sqrt{7}$ も有理数となる。

これは $\sqrt{7}$ が無理数であることに矛盾する。

※　問題文に「 $\sqrt{7}$ は無理数である」ということは明記されている。

したがって、$\sqrt{5}+\sqrt{7}$ は無理数である。

おわりに

今回は、背理法を用いた証明問題でした。

証明問題は難しいですが、細かいことは考えずに、

　「無理数もしくは有理数が含まれた証明問題には背理法を使用する。」

とパターン化させてしまっても良いかもしれません。