【二次関数】場合分けのある最大・最小

場合分けのある二次関数の最大・最小

今回は、場合分けのある二次関数の最大・最小の問題です。

場合分けのある二次関数の問題は大きく２パターンあります。

今回は①について解説していきますが、どちらも $a$ の値によって、最大値・最小値が異なる場合があるため、場合分けが必要になります。文字が含まれていても、関数の最大・最小問題は、とにかく丁寧にグラフを描くことがポイントです！

場合分けのある二次関数の最大・最小の問題

$a$ は正の定数とし、$2$ 次関数 $f(x)=x^2-2ax+2a$ $(0\le x\le 2)$ の最小値を $m(a)$ とする。この時、$m(a)$ の最大値とその時の $a$ の値を求めよ。

答案の例

$f(x)=x^2-2ax+2a$

$=(x-a{)}^2-a^2+2a$

頂点 $(a$,　$-a^2+2a)$

[1]　$0\le a\le 2$ の時

頂点の $x$ 座標が定義域内にある。よって、$x=a$ で最小値　$-a^2+2a$

[2]　$a\ge 2$ の時

頂点の $x$ 座標が右外にある。よって、$x=2$ で最小値　$-2a+4$

[1],　[2]より、

$m(a)=\{\begin{array}{l}-a^2+2a(0\le a\le 2)\\ -2a+4(a\ge 2)\end{array}$

$m(a)=-(a-1{)}^2+1$

よって、頂点 $(1$,　$1)$

以上のことより、

$m(a)=a^2+2a$ $(0\le a\le 2)$

$m(a)=-2a+4$ $(a\ge 2)$

グラフより $a=1$ の時、最大値 $1$

解説

平方完成をして、頂点を求められる形にする

$f(x)=x^2-2ax+2a$

$=(x-a{)}^2-a^2+2a$

頂点 $(a$,　$-a^2+2a)$

$a$ の値によって場合分けをする。

[1]　$0\le a\le 2$ の時

頂点の $x$ 座標が定義域内にある。よって、$x=a$ で最小値　$-a^2+2a$

※　頂点が定まってないので、軸は描く必要はない。

[2]　$a\ge 2$ の時

頂点の $x$ 座標が右外にある。よって、$x=2$ で最小値　$-2a+4$

$m(a)$ のグラフを描く

[1],　[2]より、

$m(a)=\{\begin{array}{l}-a^2+2a(0\le a\le 2)\\ -2a+4(a\ge 2)\end{array}$

※ 横軸が $a$ になることに注意

$m(a)=-(a-1{)}^2+1$

よって、頂点 $(1$,　$1)$

以上のことより、

$m(a)=a^2+2a$ $(0\le a\le 2)$

$m(a)=-2a+4$ $(a\ge 2)$

グラフより $a=1$ の時、最大値 $1$

おわりに

今回は、場合分けのある二次関数の最大・最小の問題でした。