【二次関数】場合の分けのある最大・最小

場合分けのある二次関数の最大・最小

今回は、場合分けのある二次関数の最大・最小の問題です。

場合分けのある二次関数の問題は大きく２パターンあります。

今回は①について解説していきますが、どちらも \(a\) の値によって、最大値・最小値が異なる場合があるため、場合分けが必要になります。文字が含まれていても、関数の最大・最小問題は、とにかく丁寧にグラフを描くことがポイントです！

場合分けのある二次関数の最大・最小の問題

\(a\) は正の定数とし、\(2\) 次関数 \(f(x)=x^2-2ax+2a\) \((0\leq x\leq 2)\) の最小値を \(m(a)\) とする。この時、\(m(a)\) の最大値とその時の \(a\) の値を求めよ。

答案の例

\(f(x)=x^2-2ax+2a\)

\(=(x-a)^2-a^2+2a\)

頂点 \((a\),　\(-a^2+2a)\)

[1]　\(0\leq a\leq 2\) の時

頂点の \(x\) 座標が定義域内にある。よって、\(x=a\) で最小値　\(-a^2+2a\)

[2]　\(a\geq 2\) の時

頂点の \(x\) 座標が右外にある。よって、\(x=2\) で最小値　\(-2a+4\)

[1],　[2]より、

\(m(a)=\begin{cases} -a^2+2a\ (0\leq a\leq 2)\\ -2a+4\ (a\geq 2) \end{cases}\)

\(m(a)=-(a-1)^2+1\)

よって、頂点 \((1\),　\(1)\)

以上のことより、

\(m(a)=a^2+2a\) \((0\leq a\leq 2)\)

\(m(a)=-2a+4\) \((a\geq 2)\)

グラフより \(a=1\) の時、最大値 \(1\)

解説

平方完成をして、頂点を求められる形にする

\(f(x)=x^2-2ax+2a\)

\(=(x-a)^2-a^2+2a\)

頂点 \((a\),　\(-a^2+2a)\)

\(a\) の値によって場合分けをする。

[1]　\(0\leq a\leq 2\) の時

頂点の \(x\) 座標が定義域内にある。よって、\(x=a\) で最小値　\(-a^2+2a\)

※　頂点が定まってないので、軸は描く必要はない。

[2]　\(a\geq 2\) の時

頂点の \(x\) 座標が右外にある。よって、\(x=2\) で最小値　\(-2a+4\)

\(m(a)\) のグラフを描く

[1],　[2]より、

\(m(a)=\begin{cases} -a^2+2a\ (0\leq a\leq 2)\\ -2a+4\ (a\geq 2) \end{cases}\)

※ 横軸が \(a\) になることに注意

\(m(a)=-(a-1)^2+1\)

よって、頂点 \((1\),　\(1)\)

以上のことより、

\(m(a)=a^2+2a\) \((0\leq a\leq 2)\)

\(m(a)=-2a+4\) \((a\geq 2)\)

グラフより \(a=1\) の時、最大値 \(1\)

おわりに

今回は、場合分けのある二次関数の最大・最小の問題でした。