場合分けのある二次関数の最大・最小
今回は、場合分けのある二次関数の最大・最小の問題です。
場合分けのある二次関数の問題は大きく２パターンあります。
① \(y=(x-a)^2+3\) のように頂点に \(a\) が含まれている
② \(y=(x-2)^2+3\) \((0\leq x \leq )\) のように定義域に \(a\) が含まれている
今回は①について解説していきますが、どちらも \(a\) の値によって、最大値・最小値が異なる場合があるため、場合分けが必要になります。文字が含まれていても、関数の最大・最小問題は、とにかく丁寧にグラフを描くことがポイントです！
場合分けのある二次関数の最大・最小の問題
\(a\) は正の定数とし、\(2\) 次関数 \(f(x)=x^2-2ax+2a\) \((0\leq x\leq 2)\) の最小値を \(m(a)\) とする。この時、\(m(a)\) の最大値とその時の \(a\) の値を求めよ。
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答案の例
\(f(x)=x^2-2ax+2a\)
\(=(x-a)^2-a^2+2a\)
頂点 \((a\), \(-a^2+2a)\)
[1] \(0\leq a\leq 2\) の時
頂点の \(x\) 座標が定義域内にある。よって、\(x=a\) で最小値 \(-a^2+2a\)
[2] \(a\geq 2\) の時
頂点の \(x\) 座標が右外にある。よって、\(x=2\) で最小値 \(-2a+4\)
[1], [2]より、
\(m(a)=\begin{cases} -a^2+2a\ (0\leq a\leq 2)\\ -2a+4\ (a\geq 2) \end{cases}\)
\(m(a)=-(a-1)^2+1\)
よって、頂点 \((1\), \(1)\)
以上のことより、
\(m(a)=a^2+2a\) \((0\leq a\leq 2)\)
\(m(a)=-2a+4\) \((a\geq 2)\)
グラフより \(a=1\) の時、最大値 \(1\)
解説
\(f(x)=x^2-2ax+2a\)
\(=(x-a)^2-a^2+2a\)
頂点 \((a\), \(-a^2+2a)\)
[1] \(0\leq a\leq 2\) の時
頂点の \(x\) 座標が定義域内にある。よって、\(x=a\) で最小値 \(-a^2+2a\)
※ 頂点が定まってないので、軸は描く必要はない。
[2] \(a\geq 2\) の時
頂点の \(x\) 座標が右外にある。よって、\(x=2\) で最小値 \(-2a+4\)
場合分けが苦手な方
範囲が設けられている 2 次関数の最小値問題は、
頂点が範囲の左外、内、右外それぞれに位置する時の場合を考えてみよう。
※ 今回の問題は、\(a\) が正の定数なので左外（負）の場合は考えなくても良い。
[1], [2]より、
\(m(a)=\begin{cases} -a^2+2a\ (0\leq a\leq 2)\\ -2a+4\ (a\geq 2) \end{cases}\)
※ 横軸が \(a\) になることに注意
\(m(a)=-(a-1)^2+1\)
よって、頂点 \((1\), \(1)\)
以上のことより、
\(m(a)=a^2+2a\) \((0\leq a\leq 2)\)
\(m(a)=-2a+4\) \((a\geq 2)\)
グラフより \(a=1\) の時、最大値 \(1\)
おわりに
今回は、場合分けのある二次関数の最大・最小の問題でした。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。
”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。