【場合の数】『男女の並び方』隣り合う並び方と両端に決まった人が来る並び方

男女が隣り合う並び方

今回は男女の並び方を題材にした順列の場合の数を求める問題です。

順列の公式を覚えておく必要があることはもちろんですが、それに加えて、「並びを固定」したり、「ひとかたまり」にしたりする場面があります。どういった問題で「固定」「ひとかたまり」といった方法を使うのかを確認しながら進めましょう！

ひとまとまりにして考える

例）$A$,　$B$,　$C$,　$D$,　$E$ の内、$B$,　$C$ が隣り合う場合は、

$A$ ($B$ $C$) $D$ $E$

$BC$ を $\mathrm{♠}$ とおき、ひとかたまりにします。

$A$ $\mathrm{♠}$ $D$ $E$

このように $B$ $C$ をひとかたまりにし、異なる $4$ つの順列を計算します。そうすることによって、$B$ と $C$ が隣り合った状態の並び順を計算することができます。

（続きは割愛）

固定して考える

例）$A$,　$B$,　$C$,　$D$,　$E$ の内、$B$,　$C$ が両端にある時は、両端に固定します。

$B$,　$A$,　$D$,　$E$,　$C$

このように $B$,　$C$ を両端に固定し、固定されていない部分の順列を計算します。

男女の並び方（問題）

男子 $A$,　$B$,　$C$ と女子 $D$,　$E$,　$F$,　$G$ の $7$ 人が $1$ 列に並ぶ時次の場合の数を求めなさい。
(1) 　$A$ と $B$ が隣り合う
(2)　 $A$ と $B$ が両端にくる

男女の並び方（答案の例）

(1)

$AB$ を $\mathrm{♠}$ と置き換えると

$\mathrm{♠}$ $C$ $D$ $E$ $F$ $G$

の $6$ つの順列となり、$6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720$

$\mathrm{♠}$ 内の並び方には $AB$ と $BA$ のパターンがあるので、$6!\times 2=720\times 2=1440$

(2)

$A$,　$B$ を両端に固定するので、真ん中の $5$ つの順列は、

$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$

(1) と同様に $A$ と $B$ を入れ替えても、

$B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $G$ $A$ となり、条件を満たすので、

$5!\times 2=120\times 2=240$

男女の並び方（解説）

(1)

$A$ と $B$ をひとまとまりにして考えます。

$AB$ を $\mathrm{♠}$ と置き換えると

$\mathrm{♠}$ $C$ $D$ $E$ $F$ $G$ の $6$ つの順列となり、

$6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720$

のように計算できます。

ここで注意点として、$\mathrm{♠}$ 内の並び方には $AB$ と $BA$ のパターンがあるということです。

たとえば、

$G$ $\mathrm{♠}$ $C$ $D$ $E$ $F$

という並びであれば、

$G$ $A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$
$G$ $B$ $A$ $C$ $D$ $E$ $F$

のように2種類の並びがありますね。これが上記の $720$ 通りすべてに適用されるので、$720\times 2=1440$

(2)

$A$ と $B$ を両端に固定して考えます。

$A$ $C$ $D$ $E$ $F$ $G$ $B$

固定していない真ん中の $5$ つの順列は、

$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$

(1) と同様に $A$ と $B$ を入れ替えても

$B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $G$ $A$ となり、条件を満たすので、$5!\times 2=120\times 2=240$

おわりに

今回は、男女の並び方を題材にした順列の場合の数を求める問題でした。

ひとかたまりにするパターンと両端を固定するパターンをしっかりと覚えておきましょう。