【二次関数】最大値・最小値を求める問題（グラフの描き方を丁寧に解説）

二次関数の最大値・最小値

今回は、二次関数の最大値・最小値の求め方についてです。

二次関数の問題のほとんどはグラフを描くことで解決します。特に最大値・最小値に関しては、目で見て一番高いところが最大、一番低いところが最小といった具合に求めることができます。今回は、グラフの描き方を丁寧に解説してるので、ぜひ最後まで見てみてください。

また、二次関数については他にもこんな記事があるので、チェックしてみてください。

最大値・最小値はグラフのここを見る

左図は放物線、右図は直線です。

それぞれのグラフの最大値・最小値を求める時は、\(y\) 座標を見ます。よって、左図右図は赤い点が最大値になります。

二次関数の最大・最小の問題

\(y=2x^2-8x+5\) (\(0\leq x \leq 3\)) の最大値と最小値を求めよ。

答案の例

\(y=2x^2-8x+5\)

\(=2(x^2-4x)+5\)
\(=2\left\{(x-2)^2-4\right\}+5\)
\(=2(x-2)^2-8+5\)
\(=2(x-2)^2-3\)

　頂点 \((2\),　\(-3)\)

グラフより、

\(x=0\) のとき最大値 \(5\)
\(x=2\) のとき最小値 \(-3\)

解説

平方完成をする。

\(y=2x^2-8x+5\)

\(=2(x^2-4x)+5\)
\(=2\left\{(x-2)^2-4\right\}+5\)
\(=2(x-2)^2-8+5\)
\(=2(x-2)^2-3\)

　頂点 \((2\),　\(-3)\)

グラフを描く

①大きめに軸を描く　グラフを見て最大値・最小値を判断するので大きめに描いた方が良い。

②頂点を打つ

③ \(y\) 軸との交点を打つ

\(y\) 軸との交点が正なのか負なのかは重要な情報になるので、しっかりと打つ。

④ 手順 2,　3 で打った点を繋ぐように点線で描く

⑤ 定義域内に対応する点線を実線で上書きする

定義域内は実践、定義域外は点線で描く。

グラフを見て最大値・最小値を求める

\(x=0\) のとき最大値 \(5\)
\(x=2\) のとき最小値 \(-3\)

おわりに

今回の問題は、二次関数の最大値・最小値の求め方についてでした。