【確率】『反復試行』サイコロを５回投げる時の反復試行の確率問題

反復試行の確率（サイコロ編）

反復試行は、同じ試行が繰り返される時に使う考え方です。

例）サイコロを 1 回振る。この試行を ５ 回繰り返すとき、1 の目がちょうど 3 回出る確率を求めなさい。

試行（「サイコロを１回振る。」）が複数回繰り返される時は反復試行の考え方を使います。では、公式と公式の考え方を見ていきましょう。

反復試行の確率の公式

${}_n{C}_r$ はなぜ必要か？

例）コインを５回振るとき、４回表が出る確率を求めよ。

　表が出る確率は、${\displaystyle \frac{1}{2}}$
　裏が出る確率は、${\displaystyle \frac{1}{2}}$

よって、公式に当てはめると、

$${}_5{C}_4\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^1$$

となります。ここで、${}_5{C}_4$ が必要な理由を考えてみましょう。

５回振る時とき、４回表が出るパターンを単純に並べてみると、

表,　表,　表,　表,　裏
表,　表,　表,　裏,　表
表,　表,　裏,　表,　表
表,　裏,　表,　表,　表
裏,　表,　表,　表,　表

これらすべて表が４回、裏が１回であることには変わりはありませんね。つまり、何回目に表や裏が出るかを考えなければならないのです。

仮に、${}_5{C}_4$ を付けずに、

$${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^1$$

としたとすると、これは上記の並び替えの１パターンしか満たしていないことになります。したがって、表が４回、裏が１回の合計５回の並び替え ${}_5{C}_4$ を掛け算する必要があるのです。

サイコロの確率問題

今回は、反復試行の問題の中でもサイコロを利用した問題です。

サイコロを使った確率問題は非常に多く出題されるので、サイコロの問題で覚えておくと良いポイントをまとめておきます。

特に③はサイコロの問題がきたらすぐに思いつくようにしましょう。サイコロを３回振るときは、$216$ パターンです。上手い方法が思いつかなかったら、すべて並べてあげれば問題を解くことができることも、念のため覚えておくと良いでしょう。

反復試行の問題

$1$ つのサイコロを $5$ 回投げる時、次の確率を求めなさい。

(1)　素数の目がちょうど $4$ 回出る確率を求めなさい。

(2)　素数の目が $4$ 回以上出る確率を求めなさい。

反復試行の問題（答案の例）

(1)　素数の目がちょうど $4$ 回出る確率を求めなさい。

素数の目が出る確率は、${\displaystyle \frac{3}{6}=\frac{1}{2}}$

となる。よって、

$$\begin{array}{rcl}{}_5{C}_4\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^1& =& 5\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{16}}\right)\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ & =& 5\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{32}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{5}{32}}\end{array}$$

(2)　素数の目が $4$ 回以上出る確率を求めなさい。

$4$ 回出る確率は (1) で求めたので、${\displaystyle \frac{5}{32}}$

$5$ 回出る確率は、

$$\begin{array}{rcl}{}_5{C}_5\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^5\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^0& =& 1\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{32}}\right)\cdot 1\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{32}}\end{array}$$

よって、${\displaystyle \frac{5}{32}+{\displaystyle \frac{1}{32}={\displaystyle \frac{6}{32}={\displaystyle \frac{3}{16}}}}}$

反復試行の問題（解説）

(1)　素数の目がちょうど $4$ 回出る確率を求めなさい。

公式の文字 $1$ つ $1$ つを確認してみます。

${}_n{C}_r{p}^r(1-p{)}^{n-r}$ より $n=5$,　$r=4$,　$p$ について

素数の目は $2$,　$3$,　$5$ より

素数の目が出る確率は、$p={\displaystyle \frac{3}{6}=\frac{1}{2}}$ となる。

$n$,　$r$,　$p$ を代入すると、

$$\begin{array}{rcl}{}_5{C}_4\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^1& =& 5\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{16}}\right)\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ & =& 5\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{32}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{5}{32}}\end{array}$$

なお、${}_5{C}_4$については、素数が出る $4$ 回分が $5$ 回中どのタイミングで出てくるかを考慮したものになります。言い換えれば、素数が出ない $1$ 回分がいつ現れるかを考えることに等しいので、${}_5{C}_1$ として計算しても全く同じ答えになりますので、合わせて覚えておきましょう。

(2)　素数の目が $4$ 回以上出る確率を求めなさい。

まず今回の問題で、「 $4$ 回以上」という言葉が何を意味しているかを考えましょう。

「素数の目が $4$ 回以上出る」を言い換えると、「素数の目が $4$ 回または $5$ 回出る」となります。

$4$ 回出る確率は (1) で求めたので、${\displaystyle \frac{5}{32}}$

$5$ 回出る確率は、

$$\begin{array}{rcl}{}_5{C}_5\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^5\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^0& =& 1\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{32}}\right)\cdot 1\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{32}}\end{array}$$

確率の計算において、「または」と来たら $2$ つの確率の足し算となります。

今回、「 $4$ 回出る」または「 $5$ 回出る」より、$4$ 回出る確率と$5$ 回出る確率の和を考えれば答えとなります。

よって、${\displaystyle \frac{5}{32}+{\displaystyle \frac{1}{32}={\displaystyle \frac{6}{32}={\displaystyle \frac{3}{16}}}}}$

となります。

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＜補足＞

今回の問題での「または」という表現に関する、確率に出てくる紛らわしい計算を少し見てみましょう。こちらに関する詳しい説明を見たい方は、別の記事で紹介していますので、そちらをチェックしてみてください。まず、以下のような問題を考えます。

$A$ さんと $B$ さんがさいころを振ったとき、次の確率を求めよ。

①　$A$ さんが $1$ を出す、または、 $B$ さんが $1$ を出す確率
②　$A$ さんが $1$ を出し、かつ、 $B$ さんも $1$ を出す確率

$2$ つの問題文の違いはすぐにお分かりかと思います。

一つひとつ解き方を考えてみましょう。

①の場合は、「または」なので、$A$ さんが $1$ を出す確率と $B$ さんが $1$ を出す確率の和を求め、

$${\displaystyle \frac{1}{6}+{\displaystyle \frac{1}{6}={\displaystyle \frac{1}{3}}}}$$

となります。

しかし、②の場合は、$A$ さんが $1$ を出し、さらに $B$ さんも $1$ を出さなければなりません。こちらの方が難易度が高くなりますね。このように、「かつ」などの表現が使われるものは、文章の前後の事象がどちらも起こらなければなりません。「または」の場合は、文章の前後の事象のうち、どちらか一方が起こればよかったので、この点で①と②には大きな違いがあります。ちなみに、②の場合の計算は、和ではなく積を考えます。

よって、

$${\displaystyle \frac{1}{6}\times {\displaystyle \frac{1}{6}={\displaystyle \frac{1}{36}}}}$$

となります。結果を見ても、②の方が難しことがわかりますね。

おわりに

今回は、サイコロを５回投げる時の反復試行の確率問題でした。