【二次関数】『文字が２つ入った関数』文字を減らして最大・最小を求める問題

文字が2つ入った関数の最小値

今回は、文字が２つ入った関数の最小値の問題です。

文字（変数）が $2$ つあると、どうすればいいのかわからなくなりそうですが、たった一つの操作をしてあげると、文字が $1$ つになり比較的簡単に解くことができます。

文字を一つ消去し、変数を一つにする。

$1$ つの式に複数の文字が入っていると計算しにくいので減らす作業をする必要があります。

条件に $x+2y=3$ という式があったら、$x=3-2y$ のように変形して与式 に代入します。そうすると、$x$ の文字が与式からなくなって考えやすくなります！

文字が2つ入った関数の最小値（問題）

$x+2y=3$ の時、$2x^2+y^2$ の最小値を求めよ。

答案の例

$x+2y=3$

$x=3-2y$ $\cdots$ ※

$2x^2+y^2=2(3-2y{)}^2+y^2$

$=2(9-12y+4y^2)+y^2$
$=18-24y+8y^2+y^2$
$=9y^2-24y+18$
$=9(y^2-{\displaystyle \frac{8}{3}y})+18$
$=9\{{(y-{\displaystyle \frac{4}{3}})}^2-{\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^2\}+2$
$=9{(y-{\displaystyle \frac{4}{3}})}^2-9\times {\displaystyle \frac{16}{9}+2}$
$=9{(y-{\displaystyle \frac{4}{3}})}^2-16+2$
$=9{(y-{\displaystyle \frac{4}{3}})}^2-14$

よって、$y={\displaystyle \frac{4}{3}}$ の時、最小値 $-14$

$y={\displaystyle \frac{4}{3}}$ を ※ に代入すると、

$x=3-2\times {\displaystyle \frac{4}{3}}$

$=3-{\displaystyle \frac{8}{3}={\displaystyle \frac{1}{3}}}$

したがって、$x={\displaystyle \frac{1}{3}}$,　$y={\displaystyle \frac{4}{3}}$ の時、最小値 $2$

解説

条件を式変形する。

$x+2y=3$

$x=3-2y$ $\cdots$ ※

※ を代入すると、文字 $x$ が消去される。

$2x^2+y^2=2(3-2y{)}^2+y^2$

$=2(9-12y+4y^2)+y^2$
$=18-24y+8y^2+y^2$
$=9y^2-24y+18$

平方完成をする。

$9y^2-24y+18$

$=9(y^2-{\displaystyle \frac{8}{3}y})+18$
$=9\{{(y-{\displaystyle \frac{4}{3}})}^2-{\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^2\}+2$
$=9{(y-{\displaystyle \frac{4}{3}})}^2-9\times {\displaystyle \frac{16}{9}+2}$
$=9{(y-{\displaystyle \frac{4}{3}})}^2-16+2$
$=9{(y-{\displaystyle \frac{4}{3}})}^2-14$

下に凸のグラフなので、

$y={\displaystyle \frac{4}{3}}$ の時、最小値 $-14$

$y={\displaystyle \frac{4}{3}}$ を ※ に代入すると、

$x=3-2\times {\displaystyle \frac{4}{3}}$

$=3-{\displaystyle \frac{8}{3}={\displaystyle \frac{1}{3}}}$

したがって、$x={\displaystyle \frac{1}{3}}$,　$y={\displaystyle \frac{4}{3}}$ の時、最小値 $2$

おわりに

今回は、文字が２つ入った関数の最小値の問題でした。