【三角比】『余弦定理』円に内接する四角形についての問題

円に内接する四角形

今回は円に内接する四角形についての問題です。

円に内接する四角形の性質

円に内接する四角形 $ABCD$ は、

向かい合う角度の和が ${180}^{\circ }$

という性質を持っています。つまり、片方の角度を $\theta$ とおくともう片方の角度は $({180}^{\circ }-\theta$) とおくことができます。このとき、$\cos \theta$ と $\cos ({180}^{\circ }-\theta )$ の関係は、

$\cos ({180}^{\circ }-\theta )=-\cos \theta$

となります。

正弦定理と余弦定理

$\mathrm{△}ABC$ において、外接円を $R$ とおくと、

三角比を用いた三角形の面積

$\mathrm{△}ABC$ の面積を $S$ とおくと、

与えられている辺の大きさや角度によって下記の公式を使い分けましょう。

$S={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin \mathrm{\angle }A}$
$S={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin \mathrm{\angle }B}$
$S={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \mathrm{\angle }C}$

図を描く

問題文を見ながら図を描いていきます。

最初から正確な図を描く必要はありません。問題を解いていく中で微調整を繰り返していくイメージです。

円に内接する四角形の問題

円に内接する四角形 $ABCD$ がある。

$AB=4$,　$BC=5$,　$CD=7$,　$DA=10$ のとき

(1)　$\cos A$ の値を求めよ

(2)　四角形 $ABCD$ の面積を求めよ。

答案の例

(1)　$\cos A$ の値を求めよ

$\mathrm{△}ABD$ において

$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos A$
$B{D}^2=4^2+{10}^2-2\cdot 4\cdot 10\cdot \cos A$
$B{D}^2=16+100-80\cos A$
$B{D}^2=116-80\cos A$ $\cdots$ $\mathrm{♠}$

$\mathrm{△}CBD$ において

$B{D}^2=C{B}^2+C{D}^2-2\cdot CB\cdot CD\cdot \cos ({180}^{\circ }-A)$
$B{D}^2=5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7\cdot \cos ({180}^{\circ }-A)$
$B{D}^2=25+49-70\cos ({180}^{\circ }-A)$
$B{D}^2=74-70\cos ({180}^{\circ }-A)$

$\cos ({180}^{\circ }-\theta )=-\cos \theta$ より

$B{D}^2=74-70(-\cos \theta )$
$B{D}^2=74+70\cos \theta$ $\cdots$ $clubsuit$

よって、$\{\begin{array}{l}B{D}^2=116-80\cos A\cdots \mathrm{♠}\\ B{D}^2=74+70\cos A\cdots \mathrm{♣}\end{array}$

$\mathrm{♠}$,　$\mathrm{♣}$ より

$116-80\cos A=74+70\cos A$
$116-150\cos A=74$
$-150\cos A=-42$
$\cos A={\displaystyle \frac{42}{150}}$
$\cos A={\displaystyle \frac{7}{25}}$

(2)　四角形 $ABCD$ の面積を求めよ。

${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ より

${\sin }^{2}A+{\left({\displaystyle \frac{7}{25}}\right)}^2=1$
${\sin }^{2}A+{\displaystyle \frac{49}{625}=1}$
${\sin }^{2}A={\displaystyle \frac{625}{625}-{\displaystyle \frac{49}{625}}}$
${\sin }^{2}A={\displaystyle \frac{576}{625}}$
$\sin A={\displaystyle \frac{24}{25}}$

$S_1={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot \sin A}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 10\cdot {\displaystyle \frac{24}{25}}}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 40\cdot {\displaystyle \frac{24}{25}}}$
$=20\cdot {\displaystyle \frac{24}{25}}$
$={\displaystyle \frac{96}{5}}$

$S_2={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot BC\cdot CD\cdot \sin A}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot {\displaystyle \frac{24}{25}}}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 35\cdot {\displaystyle \frac{24}{25}}}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 7\cdot {\displaystyle \frac{24}{5}}}$
$=7\cdot {\displaystyle \frac{12}{5}}$
$={\displaystyle \frac{84}{5}}$

よって、四角形 $ABCD$ の面積は、${\displaystyle \frac{96}{5}+{\displaystyle \frac{84}{5}={\displaystyle \frac{180}{5}=36}}}$

解説

(1)　$\cos A$ の値を求めよ

$\mathrm{△}ABD$ と $\mathrm{△}CBD$ それぞれに余弦定理を使います。

$\mathrm{△}ABD$ において

$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos A$
$B{D}^2=4^2+{10}^2-2\cdot 4\cdot 10\cdot \cos A$
$B{D}^2=16+100-80\cos A$
$B{D}^2=116-80\cos A$ $\cdots$ $\mathrm{♠}$

$\mathrm{△}CBD$ において

$B{D}^2=C{B}^2+C{D}^2-2\cdot CB\cdot CD\cdot \cos ({180}^{\circ }-A)$
$B{D}^2=5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7\cdot \cos ({180}^{\circ }-A)$
$B{D}^2=25+49-70\cos ({180}^{\circ }-A)$
$B{D}^2=74-70\cos ({180}^{\circ }-A)$

$\cos ({180}^{\circ }-\theta )=-\cos \theta$ より

$B{D}^2=74-70(-\cos \theta )$
$B{D}^2=74+70\cos \theta$ $\cdots$ $clubsuit$

$\mathrm{♠}$,　$\mathrm{♣}$ の連立方程式を解く。

$\{\begin{array}{l}B{D}^2=116-80\cos A\cdots \mathrm{♠}\\ B{D}^2=74+70\cos A\cdots \mathrm{♣}\end{array}$

$\mathrm{♠}$,　$\mathrm{♣}$ より

$116-80\cos A=74+70\cos A$
$116-150\cos A=74$
$-150\cos A=-42$
$\cos A={\displaystyle \frac{42}{150}}$
$\cos A={\displaystyle \frac{7}{25}}$

(2)　四角形 $ABCD$ の面積を求めよ。

$\sin A$ を求める

${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ に $\cos A={\displaystyle \frac{7}{25}}$ を代入すると、

${\sin }^{2}A+{\left({\displaystyle \frac{7}{25}}\right)}^2=1$
${\sin }^{2}A+{\displaystyle \frac{49}{625}=1}$
${\sin }^{2}A={\displaystyle \frac{625}{625}-{\displaystyle \frac{49}{625}}}$
${\sin }^{2}A={\displaystyle \frac{576}{625}}$
$\sin A={\displaystyle \frac{24}{25}}$

面積を求める

図のように、$(i)$ と $(ii)$ に分けて求める。

$(i)$ の面積を $S_1$,　$(ii)$ の面積を $S_2$ とおく。

$(i)$ について

$S_1={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot \sin A}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 10\cdot {\displaystyle \frac{24}{25}}}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 40\cdot {\displaystyle \frac{24}{25}}}$
$=20\cdot {\displaystyle \frac{24}{25}}$
$={\displaystyle \frac{96}{5}}$

$(ii)$ について

$S_2={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot BC\cdot CD\cdot \sin A}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot {\displaystyle \frac{24}{25}}}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 35\cdot {\displaystyle \frac{24}{25}}}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 7\cdot {\displaystyle \frac{24}{5}}}$
$=7\cdot {\displaystyle \frac{12}{5}}$
$={\displaystyle \frac{84}{5}}$

よって、四角形 $ABCD$ の面積は、${\displaystyle \frac{96}{5}+{\displaystyle \frac{84}{5}={\displaystyle \frac{180}{5}=36}}}$

おわりに

今回は、円に内接する四角形についての問題でした！