【三角比】『木の高さ』タンジェントを使った木の高さの測り方

三角比で木の高さを求める

今回は、タンジェントを使って木の高さを測る問題を解説していきます。

タンジェントを使うことによって、下から木を眺めて高さを測ることができます。わざわざ登らなくても良いということですね！

↓三角比の定義はこちらをチェック！

三角比で木の高さを求める（問題）

目の高さが $1.5$ m の人が、平地に立っている木の高さを知るために、木の前方の地点 $A$ から測った木の頂点の仰角が ${30}^{\circ }$、$A$ から木に向かって $10$ m 近づいた地点 $B$ から測った仰角が ${45}^{\circ }$ であった。木の高さを求めよ。

三角比で木の高さを求める（答案の例）

$\mathrm{△}ACD$ において

$$\tan {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{h}{10+x}}$$

$$h=(10+x)\tan {30}^{\circ }$$

$\tan {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ より

$$h={\displaystyle \frac{10+x}{\sqrt{3}}\cdots \mathrm{①}}$$

$\mathrm{△}BCD$ において

$$\tan {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{h}{x}}$$

$$h=(x)\tan {45}^{\circ }$$

$\tan {45}^{\circ }=1$ より

$$h=x\cdots \mathrm{②}$$

よって、

$$\{\begin{array}{l}h={\displaystyle \frac{10+x}{\sqrt{3}}\cdots \mathrm{①}}\\ h=x\cdots \mathrm{②}\end{array}$$

①より

$$h={\displaystyle \frac{10+x}{\sqrt{3}}}$$

$$h={\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}}+\frac{x}{\sqrt{3}}}$$

②より

$$h={\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}}+\frac{h}{\sqrt{3}}}$$

$$h-{\displaystyle \frac{h}{\sqrt{3}}={\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}}}}$$

$$(1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})h={\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}}}$$

$$\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}\right)h={\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}}}$$

$$\begin{array}{rcl}h& =& {\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}}\cdot \left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}}\right)}\\ & =& {\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}-1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{10\sqrt{3}+10}{2}=5\sqrt{3}+5}\end{array}$$

木の高さを考慮すると、$5\sqrt{3}+5+1.5=5\sqrt{3}+6.5$ (m)

三角比で木の高さを求める（解説）

三角比（$\tan \theta$）で表そう。

$\mathrm{△}ACD$ において

$$\tan {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{h}{10+x}}$$

$$h=(10+x)\tan {30}^{\circ }$$

$\tan {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ より

$$h={\displaystyle \frac{10+x}{\sqrt{3}}\cdots \mathrm{①}}$$

$\mathrm{△}BCD$ において

$$\tan {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{h}{x}}$$

$$h=(x)\tan {45}^{\circ }$$

$\tan {45}^{\circ }=1$ より

$$h=x\cdots \mathrm{②}$$

①,　②を用いて、$h$ を求めよう

$$\{\begin{array}{l}h={\displaystyle \frac{10+x}{\sqrt{3}}}\\ h=x\end{array}$$

①より

$$h={\displaystyle \frac{10+x}{\sqrt{3}}}$$

$$h={\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}}+\frac{x}{\sqrt{3}}}$$

②より

$$h={\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}}+\frac{h}{\sqrt{3}}}$$

整理すると、

$$h-{\displaystyle \frac{h}{\sqrt{3}}={\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}}}}$$

$$(1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})h={\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}}}$$

$$\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}\right)h={\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}}}$$

$$\begin{array}{rcl}h& =& {\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}}\cdot \left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}}\right)}\\ & =& {\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}-1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{10\sqrt{3}+10}{2}=5\sqrt{3}+5}\end{array}$$

木の高さを考慮すると、$5\sqrt{3}+5+1.5=5\sqrt{3}+6.5$ (m)

おわりに

今回は、タンジェントを使って木の高さを測る問題でした。

問題文を見て図にするのが難しかったかもしれません。

一度図にできれば、問題の糸口が見つけられるはずです。