(二次不等式) \(>0\)
今回の問題は、(二次不等式) \(>0\) が成り立つような定数 \(k\) を求める問題です。
二次不等式と二次関数は深く関わっていますが、関わりをイメージするのが難しいかもしれません。関数の形にしてグラフをイメージしながら解くことが重要です！
二次関数、二次方程式、二次不等式など似ている言葉の違いを明確にしておきましょう！
二次関数：\(y=ax^2+bx+c\)
二次方程式：\(ax^2+bx+c=0\) （二次関数の \(y\) に具体的な値が入った形が二次方程式）
二次不等式：\(ax^2+bx+c>0\)
判別式
判別式
\(2\) 次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の判別式を \(D\) とすると、
\(D=b^2-4ac>0\) \(\longrightarrow\) 実数解は \(2\) コ
\(D=b^2-4ac=0\) \(\longrightarrow\) 実数解は \(1\) コ
\(D=b^2-4ac<0\) \(\longrightarrow\) 実数解は \(0\) コ
判別式の仕組みについては↓こちらを確認してみてください。
「すべての \(x\) で \(f(x)>0\) となる。」とは？
「グラフ \(f(x)\) がすべての \(x\) に対して \(f(x)>0\) となる」
ということを図でイメージする必要があります。
図でのイメージ
( i )
このような図だと \(f(x)<0\) となる \(x\) が存在してしまうので、不適
\(f(x)<0\) となる部分が存在しないようにするには、
( ii )
となっている必要があります。このように、
\(f(x)>0\) や \(f(x)<0\) はグラフの位置と深く関わっています。
二次不等式の問題
全ての実数 \(x\) に対して、\(2\) 次不等式 \(x^2+(k+3)x-k>0\)が成り立つような定数 \(k\) の範囲を求めよ。
答案の例
\(x^2+(k+3)x-k=0\) の判別式を \(D\) とおくと、
\(D=(k+3)^2+4k>0\)
\(=k^2+6k+9+4k>0\)
\(=k^2+10k+9>0\)
\(=(k+9)(k+1)>0\)
\(k<-9\), \(-1<k\)
解説
「全ての実数 \(x\) に対して、」とあるので、図のように、完全に \(x\) 軸よりも上にグラフが配置されていなければいけない。
判別式を使う。
図のように表される時、解は \(0\) コなので、\(D<0\) となる。
\(x^2+(k+3)x-k=0\) の判別式を \(D\) とおくと、
\(D=(k+3)^2+4k<0\)
\(=k^2+6k+9+4k<0\)
\(=k^2+10k+9<0\)
\(=(k+9)(k+1)<0\)
\(-9<k<-1\)
おわりに
今回は、(二次不等式) \(>0\)が成り立つような定数 \(k\) を求める問題でした。
二次不等式と二次関数の関係性をは、グラフを描くことによってイメージしやすくなります！
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
『統計の扉』で書いている記事
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- 統計学（統計検定2級レベル）
ぜひご覧ください！
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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。
”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。