【二次方程式】『判別式』(二次不等式) $>0$が成り立つような定数 $k$ を求める問題

(二次不等式) $>0$

今回の問題は、(二次不等式) $>0$ が成り立つような定数 $k$ を求める問題です。

二次不等式と二次関数は深く関わっていますが、関わりをイメージするのが難しいかもしれません。関数の形にしてグラフをイメージしながら解くことが重要です！

二次関数：$y=a{x}^2+bx+c$
二次方程式：$a{x}^2+bx+c=0$ （二次関数の $y$ に具体的な値が入った形が二次方程式）
二次不等式：$a{x}^2+bx+c>0$

判別式

「すべての $x$ で $f(x)>0$ となる。」とは？

「グラフ $f(x)$ がすべての $x$ に対して $f(x)>0$ となる」
ということを図でイメージする必要があります。

図でのイメージ
( i )

このような図だと $f(x)<0$ となる $x$ が存在してしまうので、不適
$f(x)<0$ となる部分が存在しないようにするには、

( ii )

となっている必要があります。このように、

$f(x)>0$ や $f(x)<0$ はグラフの位置と深く関わっています。

二次不等式の問題

全ての実数 $x$ に対して、$2$ 次不等式 $x^2+(k+3)x-k>0$が成り立つような定数 $k$ の範囲を求めよ。

答案の例

$x^2+(k+3)x-k=0$ の判別式を $D$ とおくと、

$D=(k+3{)}^2+4k>0$

$=k^2+6k+9+4k>0$

$=k^2+10k+9>0$

$=(k+9)(k+1)>0$

$k<-9$,　$-1<k$

解説

「全ての実数 $x$ に対して、」とあるので、図のように、完全に $x$ 軸よりも上にグラフが配置されていなければいけない。

判別式を使う。
図のように表される時、解は $0$ コなので、$D<0$ となる。

$x^2+(k+3)x-k=0$ の判別式を $D$ とおくと、

$D=(k+3{)}^2+4k<0$

$=k^2+6k+9+4k<0$

$=k^2+10k+9<0$

$=(k+9)(k+1)<0$

$-9<k<-1$

おわりに

今回は、(二次不等式) $>0$が成り立つような定数 $k$ を求める問題でした。

二次不等式と二次関数の関係性をは、グラフを描くことによってイメージしやすくなります！