【確率】『条件付き確率』「〜のとき」に着目する条件付き確率の問題

条件付き確率（赤玉\白玉編）

今回は、ある決められた前提条件のもとで確率を考える、条件付き確率の問題を扱っていきます。

条件付き確率は、問題文に「〜のとき」のように書かれていることが多いです。具体的な問題に入る前に、ひとまず条件付き確率の公式を見ていきましょう。

公式の複雑さに惑わされてはいけません。この記事を通して解く際のイメージを解説していきますので、一緒にゆっくりと見ていきましょう！

条件付き確率の公式

「事象 $A$ が起こるという条件」の部分は、問題文だと「〜のとき」と表されてる場合が多いです。

通常の確率と条件付き確率の違い

通常の確率と条件付き確率では、分母の表し方が異なります。単純な例題で少し考えてみます。

このように、前提条件の部分が分母になる点で、今までの確率とは少し違ってくるわけです。では、具体的な問題を見ていきましょう。

条件付き確率の問題

赤玉 $5$ 個、白玉 $4$ 個が入っている袋から、玉を $1$ 個取り出し、それをもとに戻さないで、続いてもう $1$ 個取り出す。$1$ 回目に赤玉が出たとき、$2$ 回目も赤玉が出る確率を求めよ。

答案の例

答案の例①　確率の基本の公式に当てはめる

「$1$ 回目に赤玉を取り出し、$2$ 回目はなんでもいいパターン」を求める。

よって、$5\times 8=40$

次に、「$1$回目に赤玉を取り出し、$2$ 回目も赤玉を取り出すパターン」を求める。

よって、　$5\times 4=20$

したがって、${\displaystyle \frac{20}{40}=\frac{1}{2}}$

答案の例②　条件付き確率の公式に当てはめる

事象 $A$：$1$ 回目に赤玉が出る

事象 $B$：$2$ 回目に赤玉が出る

とする。

$P(A)={\displaystyle \frac{5}{9}}$
$P(A\cap B)={\displaystyle \frac{5}{9}\times \frac{4}{8}}$

よって、

$P_A(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$
$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{9}\times \frac{4}{8}}}{{\displaystyle \frac{5}{9}}}}$
$={\displaystyle \frac{4}{8}}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}}$

解説

解法①と解法②は、答案は異なりますが、考え方は同じです。つまり、前提条件を分母において、確率を計算しているのです。
解法②の方は、条件付き確率の公式を使っているので、$1$ つの公式で一気に結果を示す傾向があります。

解法①の方が、確率の基本的な考え方に沿って計算しているので、場合によってはわかりやすく理解できるかもしれません。
どちらで考えるかは、お好みですね。

解法①　確率の基本の公式に当てはめる

したがって、※の式に代入すると、

$(\mathrm{確}\mathrm{率})={\displaystyle \frac{(\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{た}\mathrm{い}\mathrm{パ}\mathrm{タ}\mathrm{ー}\mathrm{ン})}{(\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{を}\mathrm{満}\mathrm{た}\mathrm{す}\mathrm{パ}\mathrm{タ}\mathrm{ー}\mathrm{ン})}}$
$={\displaystyle \frac{20}{40}}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}}$

解法②　条件付き確率の公式に当てはめる

事象 $A$：$1$ 回目に赤玉が出る
事象 $B$：$2$ 回目に赤玉が出る

とする。公式に必要な $P(A)$ と $P(A\cap B)$ それぞれを計算していきます。

$P(A)={\displaystyle \frac{5}{9}}$

$P(A\cap B)={\displaystyle \frac{5}{9}\times \frac{4}{8}}$

これらを $P_A(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$ の公式へ代入し、

$P_A(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$
$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{9}\times \frac{4}{8}}}{{\displaystyle \frac{5}{9}}}}$
$={\displaystyle \frac{4}{8}}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}}$

おわりに

今回は、赤玉と白玉が入ってる袋から玉を取り出す条件付き確率の問題でした。