二次関数が \(x\) 軸と接する問題
今回は、グラフが \(x\) 軸に接するときの \(k\) の値を求める問題です。
グラフが \(x\) 軸に接するとき、以下のように図示することができます。
このときにどんな性質を持つのか？というのがポイントとなります。
このことを理解するためには、「判別式の仕組みを理解すること」と「グラフを描くこと」が必要です。
判別式の仕組み
判別式
\(ax^2+bx+c=0\) の判別式を \(D\) とおくとき、
\(D=b^2-4ac>0\) \(longrightarrow\) 実数解が \(2\) 個
\(D=b^2-4ac=0\) \(longrightarrow\) 実数解が \(1\) 個
\(D=b^2-4ac<0\) \(longrightarrow\) 実数解が \(0\) 個
↓判別式の仕組みはこちら
グラフで表す
「グラフが \(x\) 軸に接する」を言い換えて、グラフで表しましょう。
STEP１ 「\(x\) 軸に接する」を言い換える
「\(x\) 軸に接する」
\(\longleftrightarrow\) \(x\) 軸との交点が \(1\) 個
\(\longleftrightarrow\) \(y=0\) のとき実数解が \(1\) 個
STEP２ グラフで表す
「\(x\) 軸に接する」とは、「\(y=0\) のとき実数解が \(1\) 個」
ということを踏まえてグラフの概形を描く。
※ 頂点がわからなくても図のようなイメージを持てれば良いです。
二次関数のグラフの描き方は以下の記事をチェック
判別式の問題
\(2\) 次関数 \(y=x^2+2(2-k)x+k\) のグラフが \(x\) 軸に接するように、定数 \(k\) の値を求めよ。
＞＞詳細はこちらから
答案の例
\(x^2+2(2-k)x+k=0\) の判別式を \(D\) とおくと、
\(D=4(2-k)^2-4k=0\)
\(=16-16k+4k^2-4k=0\)
\(=4k^2-20k+16=0\)
\(=k^2-5k+4=0\)
\((k-4)(k-1)=0\)
\(k=1\), \(4\)
解説
「\(y=x^2+2(2-k)x+k\) のグラフが \(x\) 軸に接するように」より、
グラフの概形を描くと、
\(y=0\) にし、\(x\) 軸との交点について考える。
\(x^2+2(2-k)x+k=0\)
\(x\) 軸と接しているので、実数解は \(1\) 個となる。
\(x^2+2(2-k)x+k=0\) の判別式を \(D\) とおくと、
\(D=4(2-k)^2-4k=0\)
\(=16-16k+4k^2-4k=0\)
\(=4k^2-20k+16=0\)
\(=k^2-5k+4=0\)
\((k-4)(k-1)=0\)
\(k=1\), \(4\)
おわりに
今回は、グラフが \(x\) 軸に接するときの \(k\) の値を求める問題でした。
問いの文章を言い換えて、グラフの概形が描けると判別式を使用するタミングが見えてくると思います。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。
”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。