【二次方程式】『判別式』グラフの概形から \(x\) 軸に接するときの \(k\) の値を求める問題

二次関数が \(x\) 軸と接する問題

今回は、グラフが \(x\) 軸に接するときの \(k\) の値を求める問題です。

このことを理解するためには、「判別式の仕組みを理解すること」と「グラフを描くこと」が必要です。

判別式の仕組み

グラフで表す

「グラフが \(x\) 軸に接する」を言い換えて、グラフで表しましょう。

STEP１　「\(x\) 軸に接する」を言い換える

「\(x\) 軸に接する」

\(\longleftrightarrow\) \(x\) 軸との交点が \(1\) 個

\(\longleftrightarrow\) \(y=0\) のとき実数解が \(1\) 個

STEP２　グラフで表す

「\(x\) 軸に接する」とは、「\(y=0\) のとき実数解が \(1\) 個」

ということを踏まえてグラフの概形を描く。

※　頂点がわからなくても図のようなイメージを持てれば良いです。

判別式の問題

\(2\) 次関数 \(y=x^2+2(2-k)x+k\) のグラフが \(x\) 軸に接するように、定数 \(k\) の値を求めよ。

答案の例

\(x^2+2(2-k)x+k=0\) の判別式を \(D\) とおくと、

\(D=4(2-k)^2-4k=0\)

\(=16-16k+4k^2-4k=0\)
\(=4k^2-20k+16=0\)
\(=k^2-5k+4=0\)
\((k-4)(k-1)=0\)

　\(k=1\),　\(4\)

解説

「\(y=x^2+2(2-k)x+k\) のグラフが \(x\) 軸に接するように」より、

グラフの概形を描くと、

\(y=0\) にし、\(x\) 軸との交点について考える。

\(x^2+2(2-k)x+k=0\)

\(x\) 軸と接しているので、実数解は \(1\) 個となる。

\(x^2+2(2-k)x+k=0\) の判別式を \(D\) とおくと、

\(D=4(2-k)^2-4k=0\)

\(=16-16k+4k^2-4k=0\)
\(=4k^2-20k+16=0\)
\(=k^2-5k+4=0\)
\((k-4)(k-1)=0\)

　\(k=1\),　\(4\)

おわりに

今回は、グラフが \(x\) 軸に接するときの \(k\) の値を求める問題でした。

問いの文章を言い換えて、グラフの概形が描けると判別式を使用するタミングが見えてくると思います。