「実数解を持つ」
今回は、問題文の「実数解を持つ」を言い換えて解く問題です。
\(x^2-3x+2=0\)
\((x-2)(x-1)=0\)
\(x=2\), \(1\) \(\longleftarrow\) これが実数解！
今回の問題のポイントは、「実数解を持つ」を言い換えること と 判別式を使って計算することです。
判別式の仕組み
判別式
\(ax^2+bx+c=0\) において、
\(b^2-4ac>0\) のとき、実数解は \(2\) 個
\(b^2-4ac=0\) のとき、実数解は \(1\) 個
\(b^2-4ac<0\) のとき、実数解は \(0\) 個
↓判別式の詳しい仕組みはこちらです。
「実数解をもつ」の言い換え
「実数解をもつ」とは、「実数解を \(1\) 個もつ」または「実数解を \(2\) 個をもつ」と言い換えられます。
「実数解を \(1\) コもつ」判別式 \(D=0\)
「実数解を \(2\) コもつ」判別式 \(D>0\)
となり、\(D\geq 0\) と表されます。
グラフで説明すると以下のどちらかの状態を表します。
判別式（問題）
方程式 \(x^2-2ax+a^2+a-5=0\) が実数解を持つとき、\(a\) の範囲を求めよ。
＞＞詳細はこちらから
判別式（解説）
判別式 \(D\) を計算する
\(D=4a^2-4(a^2+a-5)\)
\(=-4a+20\)
よって、\(-4a+20=0\) または \(-4a+20>0\)
となるので、計算すると \(a=5\) または \(a<5\)
したがって、\(a\leq 5\)
おわりに
今回は、問題文の「実数解を持つ」を言い換えて解く問題でした。
このように、数学の問題の中には、問題文の文章を言い換えることによって、次のステップに進めることがよくあります！
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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