【二次方程式】『判別式』実数解を持つことから判別式を絞る問題

「実数解を持つ」

今回は、問題文の「実数解を持つ」を言い換えて解く問題です。

$x^2-3x+2=0$
$(x-2)(x-1)=0$
$x=2$,　$1$ $⟵$ これが実数解！

今回の問題のポイントは、「実数解を持つ」を言い換えること と 判別式を使って計算することです。

判別式の仕組み

 「実数解をもつ」の言い換え

「実数解をもつ」$⟷$ $D\ge 0$

判別式（問題）

方程式 $x^2-2ax+a^2+a-5=0$ が実数解を持つとき、$a$ の範囲を求めよ。

判別式（解説）

判別式 $D$ を計算する

$D=4a^2-4(a^2+a-5)$

$=-4a+20$

よって、$-4a+20=0$ または $-4a+20>0$

となるので、計算すると $a=5$ または $a<5$

したがって、$a\le 5$

おわりに

今回は、問題文の「実数解を持つ」を言い換えて解く問題でした。

「実数解をもつ」$⟷$ $D\ge 0$

このように、数学の問題の中には、問題文の文章を言い換えることによって、次のステップに進めることがよくあります！