【二次関数】『二次関数の決定』二次関数の式を作る２つの方法の解説と例題

二次関数の決定

今回は、二次関数の式を作る問題です。

二次関数の式を作る問題は、条件によって使用する公式が異なるので、慣れるまでは使用する公式の判別が少し難しいかもしれません。

問いの条件をしっかりと見極めて２つの公式を使い分けましょう。

二次関数の決定の問題

\(2\) 次関数のグラフの頂点が \(x\) 軸上にあって、\(2\) 点 \((0\),　\(4)\),　\((-4\),　\(36)\) を通る \(2\) 次関数を求めよ。

答案の例

\(x\) 軸上に頂点があるので、頂点の \(y\) 座標は \(y=0\) となる。

よって、\(y=a(x-p)^2+0\)

点 \((0\),　\(4)\) を通るので、\(4=a(0-p)^2\)

　\(4=ap^2\) \(\cdots\) ①

点 \((-4\),　\(36)\) を通るので、\(36=a(-4-p)^2\)

　\(36=a(16+8p+p^2)\)

　\(36=ap^2+8ap+16a\) \(\cdots\) ②

① \(\times 9\) より \(36=9ap^2\) \(\cdots\) ①’

①’＝②

\(9ap^2=ap^2+8ap+16a\)

\(8ap^2-8ap-16a=0\)

\(p^2-p-2=0\)

\((p-2)(p+1)=0\)

\(p=2\),　\(-1\)

( i )　\(p=2\) の時

①より \(4=4a\)

\(a=1\)

( ii )　\(p=-1\) の時

①より \(a=4\)

したがって、\(y=4(x+1)^2\),　\(y=(x-2)^2\)

解説

「頂点は \(x\) 軸上にあって、」と頂点についての説明があるので、使用する公式は\(y=a(x-p)^2+q\)

\(x\) 軸上に頂点があるので、頂点の \(y\) 座標は \(y=0\) となる。

よって、\(y=a(x-p)^2+0\)

通る点は、\(x\) と \(y\) に代入する。

点 \((0\),　\(4)\) を通るので、\(4=a(0-p)^2\)

　\(4=ap^2\) \(\cdots\) ①

点 \((-4\),　\(36)\) を通るので、\(36=a(-4-p)^2\)

　\(36=a(16+8p+p^2)\)

　\(36=ap^2+8ap+16a\) \(\cdots\) ②

① と ② の連立方程式を解く。

\(\begin{cases} 4=ap^2\\  36=ap^2+8ap+16a \end{cases}\)

① \(\times 9\) より \(36=9ap^2\) \(\cdots\) ①’

①’＝②

\(9ap^2=ap^2+8ap+16a\)

\(8ap^2-8ap-16a=0\)

\(p^2-p-2=0\)

\((p-2)(p+1)=0\)

\(p=2\),　\(-1\)

( i )　\(p=2\) の時

①より \(4=4a\)

\(a=1\)

( ii )　\(p=-1\) の時

①より \(a=4\)

したがって、

\(y=a(x-p)^2\) に求めた文字を当てはめていく

\(y=4(x+1)^2\),　\(y=(x-2)^2\)

おわりに