【式と証明】『二項定理』二項定理とは？覚え方のコツ

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＜二項定理＞

$(a + b)^{n} =_{n} C_{0} a^{n} b^{0} +_{n} C_{1} a^{n - 1} b^{1} +$

　 $_{n} C_{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots +_{n} C_{n} a^{n - n} b^{n}$

二項定理の覚え方
1. 二項定理
2. 二項定理の覚え方
二項定理の問題
1. 答案の例
2. 解説
おわりに

二項定理の覚え方

今回は二項定理の計算方法についてです。

　 $(a + b)^{2}$ ,　 $(a + b)^{3}$

この式を展開することはできますか？

これには公式がありますね！公式を確認したい方は以下をチェック！

【因数分解】『公式まとめ』因数分解とは？から頻出問題の公式まとめ

公式を忘れてしまっても以下のように分解して分配法則が使えます！

　 $(a + b)^{2} = (a + b) (a - b)$
　 $(a + b)^{3} = (a + b) (a + b) (a + b)$

では、 $(a + b)^{10}$ はどう計算しますか？

$(a + b)^{10} = (a + b) (a + b) (a + b) \dots$ と計算することは可能ですが、かなり大変ですよね？

そんな時に使用するのが、二項定理です。

二項定理

＜二項定理＞

$(a + b)^{n} =_{n} C_{0} a^{n} b^{0} +_{n} C_{1} a^{n - 1} b^{1} +$

　 $_{n} C_{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots +_{n} C_{n} a^{n - n} b^{n}$

このままだと複雑でどこから手をつければいいのかわかりません。そこで、もう少し細分化して公式を見ていきましょう！

二項定理の覚え方

公式内に出てくる $a$ ,　 $b$ の指数の増え方を見ると覚えやすくなります。

組み合わせの部分（ $C$ の部分）
　 $_{n} C_{0}$ → $_{n} C_{1}$ → $_{n} C_{2}$ $\dots$
☆数字のところが増えていますね！

$a$ の部分
　 $a^{n}$ → $a^{n - 1}$ → $a^{n - 2}$ $\dots$
☆指数が $1$ つずつ減っている！

$b$ の部分
　 $b^{0}$ → $b^{1}$ → $b^{2}$ $\dots$
☆指数が $1$ つずつ増えている！

それでは、例題に行きましょう！

計算過程を飛ばさずに解説は書いているので解説もじっくり見ながら慣れていきましょう！

二項定理の問題

$(2 x - 3)^{5}$ の展開式を求めよ。

＞＞詳細はこちらから

答案の例

$(2 x - 3)^{5} =_{n} C_{0} \cdot (2 x)^{5} \cdot (- 3)^{0} +_{5} C_{1} \cdot (2 x)^{4} \cdot (- 3)^{1}$

$+_{5} C_{2} \cdot (2 x)^{3} \cdot (- 3)^{2} +_{5} C_{3} \cdot (2 x)^{2} \cdot (- 3)^{3}$

$+_{5} C_{4} \cdot (2 x)^{1} \cdot (- 3)^{4} +_{5} C_{5} \cdot (2 x)^{0} \cdot (- 3)^{5}$

$= 1 \cdot 32 x^{5} \cdot 1 + 5 \cdot 16 x^{4} \cdot (- 3)$

$+ 10 \cdot 8 x^{3} \cdot 9 + 10 \cdot 4 x^{2} \cdot (27)$

$+ 5 \cdot 2 x \cdot 81 + 1 \cdot 1 \cdot (- 243)$

$= 32 x^{5} - 240 x^{4} + 720 x^{3} - 1080 x^{2} + 810 x - 243$

解説

複雑な公式を扱うときは、公式の１つ１つの文字が問題の何に当たるのかを確認しながら解いてみましょう。

今回の公式だと、文字は $a$ ,　 $b$ ,　 $n$ ですね。

$a = 2 x$ ,　 $b = - 3$ ,　 $n = 5$ となる。

公式に代入する。

$(a + b)^{n} =_{n} C_{0} a^{n} b^{0} +_{n} C_{1} a^{n - 1} b^{1} +$

$_{n} C_{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots +_{n} C_{n} a^{n - n} b^{n}$

$(2 x - 3)^{5} =_{n} C_{0} \cdot (2 x)^{5} \cdot (- 3)^{0} +_{5} C_{1} \cdot (2 x)^{4} \cdot (- 3)^{1}$

$+_{5} C_{2} \cdot (2 x)^{3} \cdot (- 3)^{2} +_{5} C_{3} \cdot (2 x)^{2} \cdot (- 3)^{3}$

$+_{5} C_{4} \cdot (2 x)^{1} \cdot (- 3)^{4} +_{5} C_{5} \cdot (2 x)^{0} \cdot (- 3)^{5}$

$= 1 \cdot 32 x^{5} \cdot 1 + 5 \cdot 16 x^{4} \cdot (- 3)$

$+ 10 \cdot 8 x^{3} \cdot 9 + 10 \cdot 4 x^{2} \cdot (27)$

$+ 5 \cdot 2 x \cdot 81 + 1 \cdot 1 \cdot (- 243)$

$= 32 x^{5} - 240 x^{4} + 720 x^{3} - 1080 x^{2} + 810 x - 243$

おわりに

今回は、二項定理の計算問題でした。

もっと演習したい方はこちら

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↓二項定理の覚え方や例題についてはこち...

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

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