【式と証明】『等式の証明』証明には型がある！

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数学は、理解して解くことだけが重要じゃない。解いてる内に理解することもある。

by　Math kit 運営 yu-to

等式の証明
1. 等式の証明の解法
2. 等式の証明の型
等式の証明（問題）
1. 答案の例
2. 解説
おわりに

等式の証明

今回は等式の証明についてです！

等式の証明の問題は、２つの整式 $A$ ,　 $B$ について、 $A = B$ が成り立つことを示す問題です。

証明問題は苦手な人が非常に多い単元です。まずは、型に当てはめて慣れるところから始めましょう！

等式の証明の解法

$A = B$ の証明について

公式 ①　 $A$ か $B$ の一方を変形して証明する

公式 ②　両辺 $A$ ,　 $B$ をそれぞれ変形して証明する

公式 ③　右辺を $0$ にして、 $A - B = 0$ であることを証明する

例）公式 ①の方法を使ってみます

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ を証明せよ。

（左辺） $= (a + b) (a + b)$

　　 $= a^{2} + a b + a b + b^{2}$

　　 $a^{2} + 2 a b + b^{2} =$ （右辺）

等式の証明の型

等式の証明は、 $A = B$ であることを示す問題です。つまり出題されたタイミングではまだ $A = B$ かどうかは分かっていません。

よって、答案を書く際に

$A = B$

（ $A$ を式変形） $=$ （ $B$ を式変形）

（ $A$ をさらに式変形） $=$ （ $B$ をさらに式変形）

というように計算を進めることはNGです。以下のように計算を進めるのが一般的です。

公式 ① の型

（左辺） $=$ ○○○

　 $=$ △△△

　 $=$ ××× $=$ （右辺）

よって、与式は成り立つ。

公式 ② の型

（左辺） $=$ ○○○

　 $=$ △△△

　 $=$ ××× $\cdots$ ①

（左辺） $=$ ☆☆☆

　 $=$ ♩♩♩

　 $=$ ××× $\cdots$ ②

① $=$ ② より与式は成り立つ。

公式 ③ の型

（左辺） $-$ （右辺） $=$ ○○○

　 $=$ ×××

　 $=$ △△△ $= 0$

（左辺） $-$ （右辺） $= 0$ より

（左辺） $=$ （右辺）となるので、与式は成り立つ。

等式の証明（問題）

$a + b + c = 0$ のとき

　等式　 $a^{2} + 2 b^{2} - c^{2} + 3 a b + b c = 0$

を証明せよ。

＞＞詳細はこちらから

答案の例

$a + b + c = 0$ より

$c = - a - b$ $\dots$ ※

与式に ※ を代入

$a^{2} + 2 b^{2} - (- a - b)^{2} + 3 a b + b (- a - b)$

$= a^{2} + 2 b^{2} - (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + 3 a b - a b - b^{2}$

$= a^{2} + 2 b^{2} - a^{2} - 2 a b - b^{2} + 3 a b - a b - b^{2}$

$= a^{2} - a^{2} + 2 b^{2} - b^{2} - b^{2} + 3 a b - a b - 2 a b$

$= 0$

よって、 $a^{2} + 2 b^{2} - c^{2} + 3 a b + b c = 0$ と言える。

解説

文字を減らす

今回の問題を見ると、文字が $a$ ,　 $b$ ,　 $c$ と $3$ つあるのがわかりますね。どの問題でもそうですが、文字が多い式は扱いづらいです。なので、工夫して文字が減らせるのであれば減らしたいところです。条件（ $a + b + c = 0$ ）を使って、文字を減らして解きやすくしましょう！

$a + b + c = 0$ より

$c = - a - b$ $\dots$ ※

$c$ に代入して文字を減らそう。ちなみに $a =$ もしくは $b =$ にしても同様の結果が得られます！

与式に ※ を代入

$a^{2} + 2 b^{2} - (- a - b)^{2} + 3 a b + b (- a - b)$

$= a^{2} + 2 b^{2} - (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + 3 a b - a b - b^{2}$

$= a^{2} + 2 b^{2} - a^{2} - 2 a b - b^{2} + 3 a b - a b - b^{2}$

代入したら、公式 ① を使用する。

$a^{2} - a^{2} + 2 b^{2} - b^{2} - b^{2} + 3 a b - a b - 2 a b$

$= 0$

よって、 $a^{2} + 2 b^{2} - c^{2} + 3 a b + b c = 0$ と言える。

おわりに

今回は、等式の証明の問題でした。

$A = B$ の証明について

公式 ①　 $A$ か $B$ の一方を変形して証明する

公式 ②　両辺 $A$ ,　 $B$ をそれぞれ変形して証明する

公式 ③　右辺を $0$ にして、 $A - B = 0$ であることを証明する

まずは型に当てはめて解けるようになりましょう。

さいごまで読んでいただきありがとうございました！

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

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