【三角比】『三角比の拡張』$1$ つの三角比からもう $2$ つの三角比を求める。

三角比の拡張

今回は、一つの三角比から他の三角比を求める問題です。

見出しに三角比の拡張と書かれていますが、「拡張」というのはどういうことなのでしょうか？
これまでは、$\sin \theta$ の $\theta$ の部分が ${90}^{\circ }$ を越えることがなかったのですが、「拡張」されると $\theta$ が ${90}^{\circ }$ を越える場合があります。

三角比を求める問題

$\sin \theta ={\displaystyle \frac{2}{3}}$ ($0^{\circ }\le \theta \le {180}^{\circ }$) のとき、$\cos \theta$ と  $\tan \theta$ の値を求めよ。

答案の例

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ より

${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2+{\cos }^2\theta =1$
${\displaystyle \frac{4}{9}+{\cos }^2\theta =1}$
${\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{5}{9}}$
$\cos \theta =\pm {\displaystyle \frac{5}{3}}$

( i )　$0^{\circ }\le \theta \le {90}^{\circ }$ のとき
すなわち、$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$ のとき

$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\sin \theta }{\cos \theta }}$ より
$=\sin \theta \times {\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}$
$={\displaystyle \frac{2}{3}\times \frac{3}{\sqrt{5}}}$
$={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$

( ii )　${90}^{\circ }\le \theta \le {180}^{\circ }$ のとき
すなわち、$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$ のとき

$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\sin \theta }{\cos \theta }}$ より
$=\sin \theta \times {\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}$
$={\displaystyle \frac{2}{3}\times (-\frac{3}{\sqrt{5}})}$
$=-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$

よって、$0^{\circ }\le \theta \le {90}^{\circ }$ のとき、$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$,　$\tan \theta ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$
${90}^{\circ }\le \theta \le {180}^{\circ }$ のとき、$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$,　$\tan \theta =-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$

解説

では、公式①の計算を続けてみましょう。

${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2+{\cos }^2\theta =1$
${\displaystyle \frac{4}{9}+{\cos }^2\theta =1}$
${\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{5}{9}}$
$\cos \theta =\pm {\displaystyle \frac{5}{3}}$

$0^{\circ }\le \theta \le {90}^{\circ }$ のとき $\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$
${90}^{\circ }\le \theta \le {180}^{\circ }$ のとき $\cos \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$

となるので場合分けが必要です。出てきた場合分けを基に他の公式に再代入しましょう。

( i )　$0^{\circ }\le \theta \le {90}^{\circ }$ のとき
すなわち $\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$ のとき

$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\sin \theta }{\cos \theta }}$ より
$=\sin \theta \times {\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}$
$={\displaystyle \frac{2}{3}\times \frac{3}{\sqrt{5}}}$
$={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$

( ii )　${90}^{\circ }\le \theta \le {180}^{\circ }$ のとき
すなわち、$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$ のとき

$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\sin \theta }{\cos \theta }}$ より
$=\sin \theta \times {\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}$
$={\displaystyle \frac{2}{3}\times (-\frac{3}{\sqrt{5}})}$
$=-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$

よって、$0^{\circ }\le \theta \le {90}^{\circ }$ のとき、$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$,　$\tan \theta ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$
${90}^{\circ }\le \theta \le {180}^{\circ }$ のとき、$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$,　$\tan \theta =-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$

おわりに

今回は、一つの三角比から他の三角比を求める問題でした。

公式に関しては、何も見ずに書けるくらいには覚えておきましょう。
まだ暗記できていない人は、最初は公式を見ながらで構わないので問題を解きながら覚えていきましょう。