【三角比】『三角二次不等式』三角比が含まれた二次不等式

三角二次不等式

今回は三角比が含まれた二次不等式の問題を扱います。

$\sin \theta$,　$\cos \theta$,　$\tan \theta$ が含まれていると嫌になる人もいるかもしれません。でも大丈夫です！三角比の公式を活用して、順を追って解いていけば答えを導けますので安心してくださいね！

まずは、解法の手順と三角比の定義を確認してから例題を解いてみましょう！

三角二次不等式の解法手順

STEP１　三角比を揃える
STEP２　三角比を文字に置く
STEP３　二次不等式を解く
STEP４　一次不等式を解く

三角二次不等式の問題

以下の不等式が満たす $\theta$ の範囲を求めよ。

$2{\sin }^2\theta -\cos \theta -1\le 0$ $(0^{\circ }\le \theta \le {180}^{\circ })$

答案の例

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ より $-2{\cos }^2\theta -\cos \theta +1\le 0$

$\cos \theta =t$ とおくと、

　$-2t^2-t+1\le 0$
　$2t^2+t-1\le 0$
　$(2t-1)(t+1)\ge 0$
　$t\le -1$,　${\displaystyle \frac{1}{2}\le t}$

よって、$\cos \theta \le -1$,　${\displaystyle \frac{1}{2}\le \cos \theta }$

図

$0^{\circ }\le \theta \le {180}^{\circ }$ より $-1\le \cos \theta \le 1$ なので、

$\theta ={180}^{\circ }$,　$0\le \theta \le {60}^{\circ }$

解説

三角比の種類を揃えるために使用できる公式はこちらです。

今回は、与式に $2{\sin }^2$ が含まれているので、公式 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を使用する

${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ となり、与式に代入すると、$-2{\cos }^2\theta -\cos \theta +1\le 0$ となる。

三角比 $(\cos \theta )$ を文字に置き換える。

　$-2t^2-t+1\le 0$
　$2t^2+t-1\le 0$
　$(2t-1)(t+1)\ge 0$

二次不等式を解くと、$t\le -1$,　${\displaystyle \frac{1}{2}\le t}$

置き換えた文字 $t$ を三角比に戻す

　$\cos \theta \le -1$,　${\displaystyle \frac{1}{2}\le \cos \theta }$

図

$0^{\circ }\le \theta {180}^{\circ }$ より $-1\le \cos \theta \le 1$ なので、

$\cos \theta \le -1$ は、$\cos \theta =-1$ となる。

※　$\cos \theta$ は、$-1$ より小さい数字にならない。

よって、$\theta ={180}^{\circ }$,　$0\le \theta \le {60}^{\circ }$

 おわりに

今回は、三角比が含まれた二次不等式の問題でした。

今回の問題が難しく感じた人は、三角比の定義もしくは三角比が含まれた一次不等式が理解できていない可能性があります！