【図形と方程式】三角形の面積

座標平面上の三角形の面積

今回は、３点からなる三角形の面積の求め方についてです。

三角形の面積を求めなさいと言われれば、固定観念により、「（底辺）×（高さ）」しか出なくなってしまいますね。しかし、高校数学においては三角形の面積の求め方の方法はいくつかあります。まずはそれらを確認していきましょう！

どの方法を用いることができるかは、与えられている条件から判断しよう！必ずしも底辺と高さが問題文に与えられているわけではない。

三角形の面積の公式から求める場合、

(三角形の面積)$={\displaystyle \frac{1}{2}\times }$ (高さ)$\times$ (底辺)

公式の底辺または高さが与えられているとは限りません。問題文の条件により、求める必要がある場合があります。

三角形の面積を求める問題

$3$ 点 $A(3$,　$5)$,　$B(5$,　$2)$,　$C(1$,　$1)$ を頂点とする $\mathrm{△}ABC$ の面積を求めなさい。

答案の例

線分 $BC$ の長さは、$BC=\sqrt{(5-1{)}^2+(2-1{)}^2}=\sqrt{17}$

直線 $BC$ の方程式は、$y-2={\displaystyle \frac{1-2}{1-5}(x-5)}$

よって、$x-4y+3=0$ $\cdots$ ①

したがって、$h={\displaystyle \frac{|3\cdot 1-4\cdot 5+3|}{\sqrt{1^2+(-4{)}^2}}={\displaystyle \frac{14}{\sqrt{17}}}}$

ゆえに、（三角形の面積）$={\displaystyle \frac{1}{2}\times \sqrt{17}\times {\displaystyle \frac{14}{\sqrt{17}}=7}}$

解説

$3$ 点 $A(3$,　$5)$,　$B(5$,　$2)$,　$C(1$,　$1)$ を頂点とすることより、図を描いてみる。

特に直角部分があるわけではなさそうなので、自由に底辺を設定する。

今回は、底辺を $BC$ とする。

線分 $BC$ の長さは,$BC=\sqrt{(5-1{)}^2+(2-1{)}^2}=\sqrt{17}$

高さを求める。

今回は、$BC$ を底辺としたので、点 $A$ から線分 $BC$ に下ろした垂線が高さとなる。

点と直線の距離を求めると、それが高さとなる。

直線 $BC$ の方程式は、$y-2={\displaystyle \frac{1-2}{1-5}(x-5)}$

よって、$x-4y+3=0$ $\cdots$ ①

したがって、$h={\displaystyle \frac{|3\cdot 1-4\cdot 5+3|}{\sqrt{1^2+(-4{)}^2}}={\displaystyle \frac{14}{\sqrt{17}}}}$

三角形の面積を求める

（三角形の面積）$={\displaystyle \frac{1}{2}\times \sqrt{17}\times {\displaystyle \frac{14}{\sqrt{17}}=7}}$

おわりに

今回は、３点からなる三角形の面積の求め方についてでした。

図を描かなくてもできる方はいるかもしれません。しかし、図を描くことによって方針が立てられる人も少なくないはずです。