円の方程式
円と言うとシンプルに「◯」を思い浮かべると思いますが、数学上で円を描くためには少し面倒です。
数学上で円の方程式を定義すると、
「任意の定点から距離 \(r\) となる軌跡」
となります。この文章を方程式にすると2つ得られます。
円の方程式の2つの公式
円の方程式
① \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
② \(x^2+y^2+lx+my+n=0\)
↓使い分け
Point①
中心 \((a\), \(b)\) や半径 \(r\) がわかってる場合、\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) を使用する。
Point②
点 \((a_1\), \(b_1)\), 点 \((a_2\), \(b_2)\), 点 \((a_3\), \(b_3)\) を通る。というように、通る点が \(3\) つわかってる場合、\(x^2+y^2+lx+my+n=0\) を使用する。
円の方程式(問題)
次の条件の時、円の方程式を求めなさい。
(1) 中心が 点 \((4\), \(1)\), 半径 \(6\) となる。
(2) 点 \(A(-2\), \(6)\), 点 \(B(1\), \(-3)\), 点 \(C(5\), \(-1)\) を通る。
おすすめ数学テキスト
>>【理系大学向け】レベル別おすすめの数学参考書
答案の例
(1) 中心が 点 \((4\), \(1)\), 半径 \(6\) となる。
中心 \((4\), \(1)\), 半径 \(6\) の円であるから、代入すると、\((x-4)^2+(y-(-1))^2=6^2\)
よって、\((x-4)^2+(y+1)^2=36\)
(2) 点 \(A(-2\), \(6)\), 点 \(B(1\), \(-3)\), 点 \(C(5\), \(-1)\) を通る。
それぞれの点を代入すると、
\(4+36-2l+6m+n=0\)
\(-2l+6m+n=-40\) \(\cdots\) \(\spadesuit\)
\(1+9+l-3m+n=0\)
\(l-3m+n=-10\) \(\cdots\) \(\clubsuit\)
\(25+1+5l-m+n=0\)
\(5l-m+n=-26\) \(\cdots\) \(\heartsuit\)
\(\begin{cases} -2l+6m+n=-40\cdots\spadesuit \\ l-3m+n=-10\cdots\clubsuit \\ 5l-m+n=-26\cdots\heartsuit \end{cases}\)
\(\spadesuit-\clubsuit\) より
\(-3l+9m=-30\)
\(l-3m=10\) \(\cdots\) ①
\(\clubsuit-\heartsuit\) より
\(-4l-2m=16\)
\(2l+m=16\) \(\cdots\) ②
① \(\times 2-\) ② より
\(-7m=28\)
\(m=-4\)
① に代入すると、
\(l+12=10\)
\(l=-2\)
\(\spadesuit\) に代入すると、
\(4-24+n=-40\)
\(n=-20\)
よって、\(x^2+y^2-2x-4y-20=0\)
解説
(1) 中心が 点 \((4\), \(1)\), 半径 \(6\) となる。
中心や半径がわかっているので、使用する公式は、\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
中心 \((4\), \(1)\), 半径 \(6\) の円であるから、代入すると、\((x-4)^2+(y-(-1))^2=6^2\)
よって、\((x-4)^2+(y+1)^2=36\)
(2) 点 \(A(-2\), \(6)\), 点 \(B(1\), \(-3)\), 点 \(C(5\), \(-1)\) を通る。
通る点が3点わかっているので使用する公式は、\(x^2+y^2+lx+my+n=0\)
それぞれの点を代入する。
点 \(A(-2\), \(6)\) を代入すると、
\(4+36-2l+6m+n=0\)
\(-2l+6m+n=-40\) \(\cdots\) \(\spadesuit\)
点 \(B(1\), \(-3)\) を代入すると、
\(1+9+l-3m+n=0\)
\(l-3m+n=-10\) \(\cdots\) \(\clubsuit\)
点 \(C(5\), \(-1)\) を代入すると、
\(25+1+5l-m+n=0\)
\(5l-m+n=-26\) \(\cdots\) \(\heartsuit\)
\(\begin{cases} -2l+6m+n=-40\cdots\spadesuit \\ l-3m+n=-10\cdots\clubsuit \\ 5l-m+n=-26\cdots\heartsuit \end{cases}\)
\(\spadesuit-\clubsuit\) より
\(-3l+9m=-30\)
\(l-3m=10\) \(\cdots\) ①
\(\clubsuit-\heartsuit\) より
\(-4l-2m=16\)
\(2l+m=16\) \(\cdots\) ②
① \(\times 2-\) ② より
\(-7m=28\)
\(m=-4\)
① に代入すると、
\(l+12=10\)
\(l=-2\)
\(\spadesuit\) に代入すると、
\(4-24+n=-40\)
\(n=-20\)
よって、\(x^2+y^2-2x-4y-20=0\)
まとめ
円の方程式
① \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
② \(x^2+y^2+lx+my+n=0\)
問題に与えられている条件に合わせて使用する公式を選びましょう。
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました!
「30分で集中力が切れてしまう方へ」
勉強の集中力UPのために
子供に集中して宿題をさせるために
会議やプレゼンのタイムマネジメントのために
質問や感想はコメントへ!