【図形と方程式】『円の方程式』円の方程式を求める2つの公式と使い分け

円の方程式

円と言うとシンプルに「◯」を思い浮かべると思いますが、数学上で円を描くためには少し面倒です。

数学上で円の方程式を定義すると、

「任意の定点から距離 $r$ となる軌跡」

となります。この文章を方程式にすると２つ得られます。

円の方程式の２つの公式

円の方程式
①　$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$
②　$x^2+y^2+lx+my+n=0$

↓使い分け

円の方程式（問題）

次の条件の時、円の方程式を求めなさい。

(1)　中心が 点 $(4$,　$1)$, 半径 $6$ となる。

(2)　点 $A(-2$,　$6)$,　点 $B(1$,　$-3)$,　点 $C(5$,　$-1)$ を通る。

答案の例

(1)　中心が 点 $(4$,　$1)$, 半径 $6$ となる。

中心 $(4$,　$1)$,　半径 $6$ の円であるから、代入すると、$(x-4{)}^2+(y-(-1){)}^2=6^2$

よって、$(x-4{)}^2+(y+1{)}^2=36$

(2)　点 $A(-2$,　$6)$,　点 $B(1$,　$-3)$,　点 $C(5$,　$-1)$ を通る。

それぞれの点を代入すると、

$4+36-2l+6m+n=0$
$-2l+6m+n=-40$ $\cdots$ $\mathrm{♠}$

$1+9+l-3m+n=0$
$l-3m+n=-10$ $\cdots$ $\mathrm{♣}$

$25+1+5l-m+n=0$
$5l-m+n=-26$ $\cdots$ $\mathrm{♡}$

$\{\begin{array}{l}-2l+6m+n=-40\cdots \mathrm{♠}\\ l-3m+n=-10\cdots \mathrm{♣}\\ 5l-m+n=-26\cdots \mathrm{♡}\end{array}$

$\mathrm{♠}-\mathrm{♣}$ より

$-3l+9m=-30$
$l-3m=10$ $\cdots$ ①

$\mathrm{♣}-\mathrm{♡}$ より

$-4l-2m=16$
$2l+m=16$ $\cdots$ ②

① $\times 2-$ ② より

$-7m=28$
$m=-4$

① に代入すると、

$l+12=10$
$l=-2$

$\mathrm{♠}$ に代入すると、

$4-24+n=-40$
$n=-20$

よって、$x^2+y^2-2x-4y-20=0$

解説

(1)　中心が 点 $(4$,　$1)$, 半径 $6$ となる。

中心や半径がわかっているので、使用する公式は、$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$

中心 $(4$,　$1)$,　半径 $6$ の円であるから、代入すると、$(x-4{)}^2+(y-(-1){)}^2=6^2$

よって、$(x-4{)}^2+(y+1{)}^2=36$

(2)　点 $A(-2$,　$6)$,　点 $B(1$,　$-3)$,　点 $C(5$,　$-1)$ を通る。

通る点が３点わかっているので使用する公式は、$x^2+y^2+lx+my+n=0$

それぞれの点を代入する。

点 $A(-2$,　$6)$ を代入すると、

$4+36-2l+6m+n=0$
$-2l+6m+n=-40$ $\cdots$ $\mathrm{♠}$

点 $B(1$,　$-3)$ を代入すると、

$1+9+l-3m+n=0$
$l-3m+n=-10$ $\cdots$ $\mathrm{♣}$

点 $C(5$,　$-1)$　を代入すると、

$25+1+5l-m+n=0$
$5l-m+n=-26$ $\cdots$ $\mathrm{♡}$

$\{\begin{array}{l}-2l+6m+n=-40\cdots \mathrm{♠}\\ l-3m+n=-10\cdots \mathrm{♣}\\ 5l-m+n=-26\cdots \mathrm{♡}\end{array}$

$\mathrm{♠}-\mathrm{♣}$ より

$-3l+9m=-30$
$l-3m=10$ $\cdots$ ①

$\mathrm{♣}-\mathrm{♡}$ より

$-4l-2m=16$
$2l+m=16$ $\cdots$ ②

① $\times 2-$ ② より

$-7m=28$
$m=-4$

① に代入すると、

$l+12=10$
$l=-2$

$\mathrm{♠}$ に代入すると、

$4-24+n=-40$
$n=-20$

よって、$x^2+y^2-2x-4y-20=0$

まとめ

円の方程式
①　$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$
②　$x^2+y^2+lx+my+n=0$

問題に与えられている条件に合わせて使用する公式を選びましょう。