弦の長さの求め方
円の弦とは赤線部分のことです！
円の弦を求めるにあたって２つのポイントがあります。
ポイント
・図を描く
・点と直線の距離を求める公式を使う
図を描く
円の弦の長さを求めるためには、上図のように描き \(\triangle{OAC}\) の \(x\) を求めます。最後に、\(2x\) を求めればそれが弦の長さになります。
点と直線の距離を求める公式
点と直線の距離
\(A(x_1\), \(y_1)\) と直線 \(ax+by+c=0\) の距離は、
\(d=\displaystyle\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
図のように、円の中心から直線に垂線を引く
赤線を点と直線の距離の公式を使用して求めます。
弦の長さの求め方（問題）
直線 \(y=x+2\) が円 \(x^2+y^2=5\) によって切り取られる弦の長さを求めよ。
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答案の例
\(OM=\displaystyle\frac{|2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\sqrt{2}\)である。\(OA\) は円の半径より、\(OA=\sqrt{5}\)
\(OA^2=OM^2+AM^2\)
\(AM^2=OA^2-OM^2\)
\(=\sqrt{5}^2-\sqrt{2}^2=5-2=3\)
\(AM=\pm{\sqrt{3}}\)
\(AM>0\) より \(AM=\sqrt{3}\)
\(AB=2AM\) より \(AB=2\sqrt{3}\)
解説
まずは、図を描きましょう。
円の中心 \((0\), \(0)\) を点 \(O\) とする。また、円と直線の交点を \(A\), \(B\) とし、線分 \(AB\) の中点を \(M\) とする。
STEP① 点と直線の距離の公式を使う
\(OM=\displaystyle\frac{|2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\sqrt{2}\) である。\(OA\) は円の半径より、\(OA=\sqrt{5}\)
STEP② \(\triangle{OAM}\) に着目する
\(OA^2=OM^2+AM^2\)
\(AM^2=OA^2-OM^2\)
\(=\sqrt{5}^2-\sqrt{2}^2\)
\(=5-2=3\)
\(AM=\pm{\sqrt{3}}\)
\(AM>0\) より \(AM=\sqrt{3}\)
STEP③ 弦の長さ (\(AB\)) は、\(AM\) の 2 倍
\(AB=2AM\) より \(AB=2\sqrt{3}\)
おわりに
今回は、円の弦の長さを求める問題でした。
複雑な公式が複数活用されるので、一つ一つの公式を着目して公式の導入から確認していきましょう。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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