【図形と方程式】点と直線の距離｜円の弦の長さの求め方

弦の長さの求め方

円の弦とは赤線部分のことです！

円の弦を求めるにあたって２つのポイントがあります。

ポイント
・図を描く
・点と直線の距離を求める公式を使う

図を描く

点と直線の距離を求める公式

弦の長さの求め方（問題）

直線 $y=x+2$ が円 $x^2+y^2=5$ によって切り取られる弦の長さを求めよ。

答案の例

$OM={\displaystyle \frac{|2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\sqrt{2}}$である。$OA$ は円の半径より、$OA=\sqrt{5}$

$O{A}^2=O{M}^2+A{M}^2$
$A{M}^2=O{A}^2-O{M}^2$
$={\sqrt{5}}^2-{\sqrt{2}}^2=5-2=3$
$AM=\pm \sqrt{3}$

$AM>0$ より $AM=\sqrt{3}$

$AB=2AM$ より $AB=2\sqrt{3}$

解説

まずは、図を描きましょう。

円の中心 $(0$,　$0)$ を点 $O$ とする。また、円と直線の交点を $A$,　$B$ とし、線分 $AB$ の中点を $M$ とする。

 STEP① 点と直線の距離の公式を使う

$OM={\displaystyle \frac{|2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\sqrt{2}}$ である。$OA$ は円の半径より、$OA=\sqrt{5}$

 STEP② $\mathrm{△}OAM$ に着目する

$O{A}^2=O{M}^2+A{M}^2$
$A{M}^2=O{A}^2-O{M}^2$
$={\sqrt{5}}^2-{\sqrt{2}}^2$
$=5-2=3$
$AM=\pm \sqrt{3}$

$AM>0$ より $AM=\sqrt{3}$

 STEP③ 弦の長さ ($AB$) は、$AM$ の 2 倍

$AB=2AM$ より $AB=2\sqrt{3}$

おわりに

今回は、円の弦の長さを求める問題でした。

複雑な公式が複数活用されるので、一つ一つの公式を着目して公式の導入から確認していきましょう。