【図形と方程式】『軌跡』放物線の弦の中点が作る図形

弦の中点の軌跡

今回は放物線の弦の中点の軌跡を求める問題です！

軌跡問題は、言い換えると、

「ある条件を満たすように点を動かしていきその点を繋いだときにどんな図形を描くか」

を求める問題です。また、求める手順があるので、まずはその手順通りに進めることを意識しながら問題を解いてみましょう！

軌跡の問題の解法手順

①　動点を見極める
問題を読み、動く点がどこになるのかを見定めましょう。

②　動点を定めたら、点 $(x$,　$y)$ のように置きましょう。
※　必ずしも、$x$ と $y$ と置かなければいけないわけではありません。問題によって臨機応変に置きましょう。

③　$x$ と $y$ を用いた方程式を立てる。
この方程式が、例えば $y=4x+1$ のようになったら、軌跡が直線になりますし、$x^2+y^2=4$ のようになったら、軌跡が円になります。

↓こちらの問題も頻出問題となっているのでチェックしてみてください。

弦の中点の軌跡（問題）

放物線 $C$：$y=x^2$ と直線 $l$：$y=y=m(x-1)$ は異なる $2$ 点 $A$,　$B$ で交わっている。

(1)　定数の $m$ の値の範囲を求めよ。

(2)　$m$ の値が変化するとき、線分 $AB$ の中点の軌跡を求めよ。

答案の例

(1)　定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

放物線と直線は、異なる $2$ 点で交わるので、

$x^2=m(x-1)$
$x^2-mx+m=0$

判別式を計算すると、

$D=(-m{)}^2-4m$
　$=m^2-4m>0$
　$=m(m-4)>0$
　$m<0$,　$4<m$

(2)　$m$ の値が変化するとき、線分 $AB$ の中点の軌跡を求めよ。

中点を $P(X$,　$Y)$ とおく。

中点は、$y=m(x-1)$

を通るので、$X$,　$Y$ を代入する。

　$Y=m(X-1)$ $\cdots$ ①

ここで、

$x^2=m(x-1)$
$x^2-mx+m=0$

この二次方程式の解を $\alpha$,　$\beta$ とおくと、解と係数の関係より、

$\alpha +\beta =m$

よって、中点の $x$ 座標の $X$ は、

$X={\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{m}{2}}$
$m=2X$ $\cdots$ ②

となる。よって、① に代入すると、

$Y=2X(X-1)$
　$=2X^2-2X$

また、(1) の結果と ② の結果を踏まえると、

$2X<0$,　$4<2X$
$X<0$,　$2<X$

以上より、$y=2x^2-2x$ の ( $x<0,$　$2<x$ ) の部分

解説

(1)　定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

$x^2=m(x-1)$
$x^2-mx+m=0$

判別式を計算すると、

$D=(-m{)}^2-4m$
　$=m^2-4m>0$
　$=m(m-4)>0$
　$m<0$,　$4<m$

(2)　$m$ の値が変化するとき、線分 $AB$ の中点の軌跡を求めよ。

$m$ を $X$ と $Y$ を用いた式で表し、① に代入する。そこで、

$x^2=m(x-1)$
$x^2-mx+m=0$

この二次方程式の解を $\alpha$,　$\beta$ とおくと、

解と係数の関係より、

$\alpha +\beta =m$

よって、中点の $x$ 座標の $X$ は、

$X={\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{m}{2}}$
$m=2X$ $\cdots$ ②

となる。よって、① に代入すると、

$Y=2X(X-1)$
　$=2X^2-2X$

また、(1) の結果と ② の結果を踏まえると、

$2X<0$,　$4<2X$
$X<0$,　$2<X$

以上より、$y=2x^2-2x$ の ( $x<0,$　$2<x$ ) の部分

おわりに

今回は放物線の弦の中点の軌跡の問題でした！