【図形と方程式】$x+y$ の最大値・最小値を求める

2変数関数の最大最小

今回は、\(x+y\)  の最大値・最小値を求める問題です。これまでは、

$y=x^2+4x+1$ の最大値・最小値を求めなさい。

という問題が一般的でしたね。

$2$ 次関数の最小値なら、放物線を描いて一番低いところを…とイメージがつきますが、

$x+y$ の最大・最小と言われてもピンとこないですね。

２変数関数の最大値・最小値のポイント

$x+y$ を文字に置き、最大値・最小値の求めたい場所の捉え方を変える

2変数関数の最大最小（問題）

$x$,　$y$ が $2$ つの不等式 $x^2+y^2\le 10$,　$y\ge -2x+5$ を満たすとき、$x+y$ の最大値および最小値を求めよ。

2変数関数の最大最小（答案の例）

$x^2+y^2\le 10$ $\cdots$ ①

$y\ge -2x+5$ $\cdots$ ② とおくと、① と ② の共通部分は、

$x+y=k$ とおくと $y=-x+k$ と変形できる。

直線 $y=-2x+5$と円 $x^2+y^2=10$ の交点について、

$x^2+(-2x+5{)}^2=10$

$x^2+4x^2-20x+25=10$

$5x^2-20x+15=0$

$x^2-4x+3=0$

$(x-3)(x-1)=0$

$x=3$,　$1$

そして、

$x=3$ のとき、$y=-2x+5$ に代入すると、$y=-1$

$x=1$ のとき、$y=-2x+5$ に代入すると、$y=3$ となる。

$x=3$,　$y=-1$ を $x+y=k$ に代入すると、$k=3+(-1)=2$

$x=1$,　$y=3$ を $x+y=k$ に代入すると、$k=1+3=4$

よって、

$x=3$,　$y=-1$ の時、最小値 $2$

$x=1$,　$y=3$ の時、最大値 $4$

2変数関数の最大最小（解説）

不等式の領域を図示するために、① と ② それぞれの範囲を描く。

$x^2+y^2\le 10$ $\cdots$ ①

$y\ge -2x+5$ $cdots$ ②

① と ② の共通部分は、

図示された領域の中で、$x+y$ の最小値・最大値を求める。

$x+y=k$ とおくと $y=-x+k$ と変形できる。

「$x+y$ の最小値・最大値を求めよ。」を言い換えると、

「$y=-x+k$ の切片 $k$ の最小値・最大値を求めよ。」となる。

図示された領域内に含まれるように、直線 $y=-x+k$ を動かす。

直線 $y=-2x+5$と円 $x^2+y^2=10$ の交点について、

$x^2+(-2x+5{)}^2=10$

$x^2+4x^2-20x+25=10$

$5x^2-20x+15=0$

$x^2-4x+3=0$

$(x-3)(x-1)=0$

$x=3$,　$1$

そして、

$x=3$ のとき、$y=-2x+5$ に代入すると、$y=-1$

$x=1$ のとき、$y=-2x+5$ に代入すると、$y=3$となる。

直線 ①〜③ の中で切片が最小値になるのは、③ となる。

直線 ③ の通る点は、$x=3$,　$y=-1$ なので、

$x+y=k$ に代入して、$k=3+(-1)=2$ が最小値

同様にして、

直線 ①〜③ の中で切片が最大値になるのは、①となる。

直線 ① の通る点は、$x=1$,　$y=3$ なので、

$x+y=k$ に代入して、$k=1+3=4$ が最大値

改めてまとめると、

$x=3$,　$y=-1$ の時、最小値 $2$

$x=1$,　$y=3$ の時、最大値 $4$

おわりに

今回は、$x+y$ の最大値・最小値を求める問題でした。

今回のポイントは

でした。