【式と証明】『等式の証明』三角比を含む等式の証明

三角比を含む等式の証明

今回はサインコサインを含んだ等式の証明問題です！

等式の証明だけでも難しいのに、サインコサインも含まれていてはなにから手をつければわからなくなりますね…

今回の問題は、サインコサインの処理を丁寧にした上で等式の証明の型にはめる必要があります。

サインコサインの処理方法

例えば、\(\sin\theta\) に揃えたいとすると、① の式を \(\cos^2\theta=1-\sin^2\theta\) として \(\cos\theta\) の部分に代入します。また、式に \(\tan\theta\) が含まれてる場合は、②、③ の式を活用して三角比を揃えることになります。

等式の証明のポイント

公式 ① は左辺を右辺に、もしくは右辺を左辺に合わせることで等式が成り立つことを示します。どちらを変形すれば良いかわからない場合は、より複雑な方の式を変形していくとうまくいく場合が多いです。

三角比を含む等式の証明（問題）

以下の等式を証明せよ。

　\(\displaystyle\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\tan\theta=\frac{1}{\cos\theta}\)

答案の例

（左辺）\(=\displaystyle\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\tan\theta\)

\(\tan\theta=\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) より

\(=\displaystyle\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)

\(=\displaystyle\frac{\cos\theta\times\cos\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}+\frac{\sin\theta(1+\sin\theta)}{\cos\theta(1+\sin\theta)}\)

\(=\displaystyle\frac{\cos^2\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}+\frac{\sin\theta+\sin^2\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}\)

\(=\displaystyle\frac{\cos^2\theta+\sin\theta+\sin^2\theta}{\cos\theta+\cos\theta\sin\theta}\)

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より

\(=\displaystyle\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{\cos}=\) （右辺）

解説

左辺と右辺を見るとより複雑な式は左辺だとわかるので、左辺を変形させていきます。

（左辺）\(=\displaystyle\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\tan\theta\)

STEP1　どの三角比の相互関係の公式を活用するのかを考える。

今回は式に \(\tan\theta\) が含まれているので公式 ②、③ のどちらかを活用します。どちらを活用すれば良いかわからない場合は時間はかかりますが、慣れるまでは両方で試してみましょう！

　\(\tan\theta=\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) より

\(=\displaystyle\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\) \(\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)

STEP2　通分する

\(=\displaystyle\frac{\cos\theta\times\cos\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}+\frac{\sin\theta(1+\sin\theta)}{\cos\theta(1+\sin\theta)}\)

\(=\displaystyle\frac{\cos^2\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}+\frac{\sin\theta+\sin^2\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}\)

\(=\displaystyle\frac{\cos^2\theta+\sin\theta+\sin^2\theta}{\cos\theta+\cos\theta\sin\theta}\)

\(\sin^2\theta\) と \(\cos^2\theta\) の \(2\) つの三角比が見えたら \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) を睨みましょう！

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より

\(=\displaystyle\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)}\)

STEP3　\(1+\sin\theta\) で約分する。

\(=\displaystyle\frac{1}{\cos}=\) （右辺）

このように、三角比の相互関係を駆使しながら式変形し、一方の式をもう一方の式に合わせていく。

おわりに

今回は、サインコサインを含んだ等式の証明問題でした！