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【式と証明】『等式の証明』三角比を含む等式の証明

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三角比を含む等式の証明

今回はサインコサインを含んだ等式の証明問題です!

等式の証明だけでも難しいのに、サインコサインも含まれていてはなにから手をつければわからなくなりますね…

今回の問題は、サインコサインの処理を丁寧にした上で等式の証明の型にはめる必要があります。

まずはこの説明をしていきます!

① サインコサインの処理方法
② 等式の証明の型

サインコサインの処理方法

三角比の相互関係

sin2θ+cos2θ=1

sinθcosθ=tanθ

tan2θ+1=1cos2θ

例えば、sinθ に揃えたいとすると、① の式を cos2θ=1sin2θ として cosθ の部分に代入します。また、式に tanθ が含まれてる場合は、②、③ の式を活用して三角比を揃えることになります。

等式の証明のポイント

等式の証明のパターン

A=B の証明について

公式① AB の一方を変形して証明する
※ 今回使用するパターン

公式② 両辺 A, B をそれぞれ変形して証明する

公式③ 右辺を 0 にして、AB=0 であることを証明する


公式 ① は左辺を右辺に、もしくは右辺を左辺に合わせることで等式が成り立つことを示します。どちらを変形すれば良いかわからない場合は、より複雑な方の式を変形していくとうまくいく場合が多いです。

三角比を含む等式の証明(問題)

以下の等式を証明せよ。

 cosθ1+sinθ+tanθ=1cosθ

答案の例

(左辺)=cosθ1+sinθ+tanθ

tanθ=sinθcosθ より

=cosθ1+sinθ+sinθcosθ

=cosθ×cosθcosθ(1+sinθ)+sinθ(1+sinθ)cosθ(1+sinθ)

=cos2θcosθ(1+sinθ)+sinθ+sin2θcosθ(1+sinθ)

=cos2θ+sinθ+sin2θcosθ+cosθsinθ

sin2θ+cos2θ=1 より

=1+sinθcosθ(1+sinθ)

=1cos= (右辺)

解説

左辺と右辺を見るとより複雑な式は左辺だとわかるので、左辺を変形させていきます。

(左辺)=cosθ1+sinθ+tanθ

STEP1 どの三角比の相互関係の公式を活用するのかを考える。

今回は式に tanθ が含まれているので公式 ②、③ のどちらかを活用します。どちらを活用すれば良いかわからない場合は時間はかかりますが、慣れるまでは両方で試してみましょう!

 tanθ=sinθcosθ より

=cosθ1+sinθ+ sinθcosθ

STEP2 通分する

=cosθ×cosθcosθ(1+sinθ)+sinθ(1+sinθ)cosθ(1+sinθ)

=cos2θcosθ(1+sinθ)+sinθ+sin2θcosθ(1+sinθ)

=cos2θ+sinθ+sin2θcosθ+cosθsinθ

sin2θcos2θ2 つの三角比が見えたら sin2θ+cos2θ=1 を睨みましょう!

sin2θ+cos2θ=1 より

=1+sinθcosθ(1+sinθ)

STEP3 1+sinθ で約分する。

=1cos= (右辺)

このように、三角比の相互関係を駆使しながら式変形し、一方の式をもう一方の式に合わせていく。

おわりに

今回は、サインコサインを含んだ等式の証明問題でした!

さいごまで読んでいただきありがとうございました!

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

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