【三角関数】『三角方程式』サインの２倍角の公式を用いた三角方程式

2倍角を含む三角方程式

$2$ 倍角が含まれた三角方程式はこんな感じです。

$\sin 2\theta =\cos \theta$

$\sin \theta$ の $2\theta$ と $\cos \theta$ の $\theta$ を同じにする必要があります。そのときに使用するのが、$2$ 倍角の公式です。

必要な技能
①　$2$ 倍角の公式が使える
②　三角一次方程式を計算できる

2 倍角の公式

三角一次方程式

計算の途中に三角一次方程式が出てきます。

例）$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$

↓この式の計算が難しく感じる人はこちらをチェック

2倍角を含む三角方程式 (問題)

$0\le \theta <2\pi$ のとき、次の方程式を解け。

$\sin 2\theta =\cos \theta$

答案の例

$2$ 倍角の公式より $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ $\cdots$ ※

※を与式に代入すると、

$\sin 2\theta =\cos \theta$
$2\sin \theta \cos \theta =\cos \theta$
$2\sin \theta \cos \theta -\cos \theta =0$
$\cos \theta (2\sin \theta -1)=0$

よって、$\cos \theta =0$,　$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$(i)$　$\cos \theta =0$ より $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$,　${\displaystyle \frac{3}{2}\pi }$

$(ii)$　$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$ より $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$,　${\displaystyle \frac{5}{6}\pi }$

$(i)$,　$(ii)$ より $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$,　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$,　${\displaystyle \frac{5}{6}\pi }$,　${\displaystyle \frac{3}{2}\pi }$

解説

与式の $\theta$ と $2\theta$ をどちらかに合わせる

$2$ 倍角の公式より$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ $\cdots$ ※

※を与式に代入すると、

$\sin 2\theta =\cos \theta$
$2\sin \theta \cos \theta =\cos \theta$
$2\sin \theta \cos \theta -\cos \theta =0$

因数分解する

$\cos \theta (2\sin \theta -1)=0$

よって、

$\cos \theta =0$ または $2\sin \theta -1=0$ より
$\cos \theta =0$ または $\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$ となる。

それぞれの三角一次方程式を計算する

$(i)$　$\cos \theta =0$ より $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$,　${\displaystyle \frac{3}{2}\pi }$

$(ii)$　$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$ より $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$,　${\displaystyle \frac{5}{6}\pi }$

$(i)$,　$(ii)$ より $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$,　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$,　${\displaystyle \frac{5}{6}\pi }$,　${\displaystyle \frac{3}{2}\pi }$

おわりに

2倍角を含んだ三角方程式は、2倍角の公式を用いて式変形をしましょう。